Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Legno, k = 0,17100 mmCartongesso, k = 0,17150 mm20 °C4 °CQ̇ = ?

Una parete è composta da 100 mm di legno e 150 mm di cartongesso, con un’area di 20 m². Le facce esterne sono a 20 °C e 4 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.

L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 20 °CT3 = 4 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Mattone, k = 0,72200 mmCalcestruzzo, k = 1,475 mmstanza 22 °Cesterno -15 °CTs​ = ?Q̇

Una parete di 200 mm mattone e 75 mm calcestruzzo separa una stanza a 22 °C dall’aria esterna a -15 °C. I coefficienti di convezione sono 8 W/(m²·K) all’interno e 25 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 15 m². Trova la temperatura Ts della superficie interna della parete.

L1 = 200 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 15 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -15 °C
Ts = °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT100 °C25 °C55 °CΔT₁ΔT₂vapore che condensa

In un condensatore, il vapore condensa a 100 °C costanti all’esterno dei tubi. L’acqua di raffreddamento (5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) scorre nei tubi e si riscalda da 25 a 55 °C. Il coefficiente globale di scambio è 3000 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.

Ts = 100 °Cṁ = 5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 25 → 55 °CU = 3000 W/(m²·K)
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT130 °C65 °C68,65 °C15 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

Olio caldo (1,5 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) si raffredda da 130 a 65 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 1 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 15 °C. Con U = 800 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.

ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 130 → 65 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 800 W/(m²·K)
A = m²

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Q̇ = 217,6 W

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·20) = 0,02941 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·20) = 0,04412 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 16/0,07353 = 217,6 W

Risposta

Q̇ = 217,6 W
2.Conduzione del calore

Risposta: Ts = 12,68 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·15) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,72·15) = 0,01852 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(1,4·15) = 0,003571 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·15) = 0,002667 K/W
ΣR = 0,03309 K/W

Perdita di calore

Q̇ = (22 − (-15))/0,03309 = 1118 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 1118·0,008333 = 12,68 °C

Risposta

Ts = 12,68 °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 3,559 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Potenza termica dal lato acqua

Q̇ = 5·4,18·(55 − 25) = 627 kW

Differenze di temperatura agli estremi

ΔT₁ = 100 − 25 = 75 K
ΔT₂ = 100 − 55 = 45 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (75 − 45)/ln(75/45) = 58,73 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 627000/(3000·58,73) = 3,559 m²

Risposta

A = 3,559 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 5,052 m²

Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.

Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,3·65 = 224,2 kW
Tc,out = 15 + 224,2/(1·4,18) = 68,65 °C

Differenze di temperatura agli estremi

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 130 − 68,65 = 61,35 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 65 − 15 = 50 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (61,35 − 50)/ln(61,35/50) = 55,48 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 224250/(800·55,48) = 5,052 m²

Risposta

A = 5,052 m²

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