Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Calcestruzzo, k = 1,4150 mmMattone, k = 0,7225 mm15 °C-7 °CQ̇ = ?

Una parete è composta da 150 mm di calcestruzzo e 25 mm di mattone, con un’area di 12 m². Le facce esterne sono a 15 °C e -7 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.

L1 = 150 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 15 °CT3 = -7 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Lana minerale, k = 0,04250 mmPolistirene espanso, k = 0,03575 mmstanza 20 °Cesterno 2 °CQ̇

Una parete di 250 mm lana minerale e 75 mm polistirene espanso separa una stanza a 20 °C dall’aria esterna a 2 °C. I coefficienti di convezione sono 7,7 W/(m²·K) all’interno e 25 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 8 m². Trova la trasmittanza termica U della parete.

L1 = 250 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 8 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 2 °C
U = W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT175 °C100 °C10 °C70 °CΔT₁ΔT₂equicorrente

Uno scambiatore equicorrente trasferisce 100 kW. Il fluido caldo si raffredda da 175 a 100 °C e il fluido freddo si riscalda da 10 a 70 °C. Il coefficiente globale di scambio è 1500 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.

Q̇ = 100 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 175 → 100 °CTc: 10 → 70 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT140 °C15 °C?ΔT₁ΔT₂vapore che condensa

Il vapore condensa a 140 °C costanti all’esterno dei tubi di un condensatore con un’area di scambio di 2 m² e U = 2500 W/(m²·K). L’acqua di raffreddamento (2 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) entra nei tubi a 15 °C. Trova la temperatura di uscita dell’acqua Tc,out.

Ts = 140 °CA = 2 m²U = 2500 W/(m²·K)ṁ = 2 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °C
Tc,out = °C

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Q̇ = 1861 W

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(1,4·12) = 0,008929 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,72·12) = 0,002894 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 22/0,01182 = 1861 W

Risposta

Q̇ = 1861 W
2.Conduzione del calore

Risposta: U = 0,1168 W/(m²·K)

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·8) = 0,01623 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,04·8) = 0,7813 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,035·8) = 0,2679 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·8) = 0,005 K/W
ΣR = 1,07 K/W

Coefficiente globale

U = 1/(A·ΣR) = 1/(8·1,07) = 0,1168 W/(m²·K)

Risposta

U = 0,1168 W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 0,8419 m²

Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.

Differenze di temperatura agli estremi

In equicorrente entrambi gli ingressi sono allo stesso estremo, ed entrambe le uscite all’altro.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 175 − 10 = 165 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 100 − 70 = 30 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (165 − 30)/ln(165/30) = 79,19 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 100000/(1500·79,19) = 0,8419 m²

Risposta

A = 0,8419 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: Tc,out = 71,27 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Combina il bilancio energetico e l’equazione di scambio

Con ΔT₁ = Ts − Tc,in e ΔT₂ = Ts − Tc,out, la differenza ΔT₁ − ΔT₂ è uguale all’aumento di temperatura dell’acqua, quindi l’aumento si semplifica.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 2500·2/(2·4180) = 0,5981

Temperatura di uscita

ΔT₂ = ΔT₁·e−0,5981 = 125·0,5499 = 68,73 K
Tc,out = 140 − 68,73 = 71,27 °C

Risposta

Tc,out = 71,27 °C

Calore trasferito: Q̇ = 470,4 kW.

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