Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Mattone, k = 0,72150 mmLegno, k = 0,17150 mm20 °C-2 °CTi​ = ?Q̇

Una parete è composta da 150 mm di mattone e 150 mm di legno, con un’area di 10 m². Le facce esterne sono a 20 °C e -2 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.

L1 = 150 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 20 °CT3 = -2 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Vetro, k = 0,9650 mmPolistirene espanso, k = 0,03525 mmstanza 22 °Cesterno -12 °CTs​ = ?Q̇

Una parete di 50 mm vetro e 25 mm polistirene espanso separa una stanza a 22 °C dall’aria esterna a -12 °C. I coefficienti di convezione sono 8 W/(m²·K) all’interno e 20 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 8 m². Trova la temperatura Ts della superficie interna della parete.

L1 = 50 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 8 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -12 °C
Ts = °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT125 °C30 °C105 °C15 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

Uno scambiatore a fascio tubiero (un passaggio lato mantello, due passaggi lato tubi) deve trasferire 280 kW. Il fluido caldo si raffredda da 125 a 30 °C e il fluido freddo si riscalda da 15 a 105 °C. Il fattore di correzione della LMTD per questa configurazione è F = 0,92, e U = 200 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.

Q̇ = 280 kWF = 0,92U = 200 W/(m²·K)Th: 125 → 30 °CTc: 15 → 105 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT135 °C105 °C10 °C?ΔT₁ΔT₂equicorrente

In uno scambiatore a doppio tubo equicorrente, olio caldo (0,3 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) scorre nel tubo interno e si raffredda da 135 a 105 °C. Acqua (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) nell’intercapedine anulare entra a 10 °C. Il tubo interno ha un diametro di 25 mm, e U = 150 W/(m²·K) è riferito a questo diametro. Trova la lunghezza del tubo L necessaria.

ṁh = 0,3 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 135 → 105 °Cṁc = 1 kg/sTc,in = 10 °CD = 25 mmU = 150 W/(m²·K)
L = m

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Ti = 15,8 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,72·10) = 0,02083 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·10) = 0,08824 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 22/0,1091 = 201,7 W

Temperatura all’interfaccia

La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 20 − 201,7·0,02083 = 15,8 °C

Risposta

Ti = 15,8 °C
2.Conduzione del calore

Risposta: Ts = 17,49 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·8) = 0,01563 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,96·8) = 0,00651 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,035·8) = 0,08929 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·8) = 0,00625 K/W
ΣR = 0,1177 K/W

Perdita di calore

Q̇ = (22 − (-12))/0,1177 = 288,9 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 288,9·0,01563 = 17,49 °C

Risposta

Ts = 17,49 °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 87,56 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Differenze di temperatura agli estremi (controcorrente)

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 125 − 105 = 20 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 30 − 15 = 15 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (20 − 15)/ln(20/15) = 17,38 K

Area

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 280000/(200·0,92·17,38) = 87,56 m²

Risposta

A = 87,56 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: L = 17,96 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua

Q̇ = 0,3·2,5·(135 − 105) = 22,5 kW
Tc,out = 10 + 22,5/(1·4,18) = 15,38 °C

Differenze di temperatura agli estremi

In equicorrente entrambi gli ingressi sono allo stesso estremo, ed entrambe le uscite all’altro.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 135 − 10 = 125 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 105 − 15,38 = 89,62 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (125 − 89,62)/ln(125/89,62) = 106,3 K

Area e lunghezza

A = 22500/(150·106,3) = 1,411 m²
L = A/(πD) = 1,411/(π·0,025) = 17,96 m

Risposta

L = 17,96 m

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