Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 200 mm di cartongesso e 150 mm di calcestruzzo, con un’area di 6 m². Le facce esterne sono a 23 °C e 6 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.
L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 23 °CT3 = 6 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 150 mm calcestruzzo e 25 mm legno separa una stanza a 21 °C dall’aria esterna a -11 °C. I coefficienti di convezione sono 7,7 W/(m²·K) all’interno e 20 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 20 m². Trova la perdita di calore Q̇ attraverso la parete.
L1 = 150 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 20 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -11 °C
Q̇ = W
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
In un condensatore, il vapore condensa a 130 °C costanti all’esterno dei tubi. L’acqua di raffreddamento (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) scorre nei tubi e si riscalda da 25 a 80 °C. Il coefficiente globale di scambio è 2500 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Ts = 130 °Cṁ = 0,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 25 → 80 °CU = 2500 W/(m²·K)
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
Olio caldo (1,5 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) si raffredda da 180 a 50 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 2 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 20 °C. Con U = 300 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.
ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 180 → 50 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 79,46 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·6) = 0,1961 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(1,4·6) = 0,01786 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 17/0,2139 = 79,46 W
Risposta
Q̇ = 79,46 W
2.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 1474 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·20) = 0,006494 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(1,4·20) = 0,005357 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·20) = 0,007353 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·20) = 0,0025 K/W
ΣR = 0,0217 K/W
Perdita di calore
Q̇ = (21 − (-11))/0,0217 = 1474 W
Risposta
Q̇ = 1474 W
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 0,6203 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Potenza termica dal lato acqua
Q̇ = 0,5·4,18·(80 − 25) = 114,9 kW
Differenze di temperatura agli estremi
ΔT₁ = 130 − 25 = 105 K
ΔT₂ = 130 − 80 = 50 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (105 − 50)/ln(105/50) = 74,13 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 114950/(2500·74,13) = 0,6203 m²
Risposta
A = 0,6203 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 27,67 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,5·130 = 487,5 kW
Tc,out = 20 + 487,5/(2·4,18) = 78,31 °C
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 180 − 78,31 = 101,7 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 20 = 30 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (101,7 − 30)/ln(101,7/30) = 58,73 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 487500/(300·58,73) = 27,67 m²
Risposta
A = 27,67 m²
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