Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 100 mm di polistirene espanso e 150 mm di vetro, con un’area di 6 m². Le facce esterne sono a 20 °C e 8 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.
L1 = 100 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 20 °CT3 = 8 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 50 mm vetro e 100 mm mattone separa una stanza a 22 °C dall’aria esterna a -14 °C. I coefficienti di convezione sono 8 W/(m²·K) all’interno e 20 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 8 m². Trova la perdita di calore Q̇ attraverso la parete.
L1 = 50 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 8 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -14 °C
Q̇ = W
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore equicorrente trasferisce 130 kW. Il fluido caldo si raffredda da 130 a 35 °C e il fluido freddo si riscalda da 15 a 25 °C. Il coefficiente globale di scambio è 500 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Q̇ = 130 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 130 → 35 °CTc: 15 → 25 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
In uno scambiatore a doppio tubo controcorrente, olio caldo (1 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) scorre nel tubo interno e si raffredda da 100 a 70 °C. Acqua (0,2 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) nell’intercapedine anulare entra a 10 °C. Il tubo interno ha un diametro di 20 mm, e U = 500 W/(m²·K) è riferito a questo diametro. Trova la lunghezza del tubo L necessaria.
ṁh = 1 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 100 → 70 °Cṁc = 0,2 kg/sTc,in = 10 °CD = 20 mmU = 500 W/(m²·K)
L = m
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 23,89 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,035·6) = 0,4762 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,96·6) = 0,02604 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 12/0,5022 = 23,89 W
Risposta
Q̇ = 23,89 W
2.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 786,9 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·8) = 0,01563 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,96·8) = 0,00651 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,72·8) = 0,01736 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·8) = 0,00625 K/W
ΣR = 0,04575 K/W
Perdita di calore
Q̇ = (22 − (-14))/0,04575 = 786,9 W
Risposta
Q̇ = 786,9 W
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 6,048 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Differenze di temperatura agli estremi
In equicorrente entrambi gli ingressi sono allo stesso estremo, ed entrambe le uscite all’altro.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 130 − 15 = 115 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 35 − 25 = 10 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (115 − 10)/ln(115/10) = 42,99 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 130000/(500·42,99) = 6,048 m²
Risposta
A = 6,048 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: L = 87,13 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua
Q̇ = 1·2,3·(100 − 70) = 69 kW
Tc,out = 10 + 69/(0,2·4,18) = 92,54 °C
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 92,54 = 7,464 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 70 − 10 = 60 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (7,464 − 60)/ln(7,464/60) = 25,21 K
Area e lunghezza
A = 69000/(500·25,21) = 5,475 m²
L = A/(πD) = 5,475/(π·0,02) = 87,13 m
Risposta
L = 87,13 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer