Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Cartongesso, k = 0,17200 mmVetro, k = 0,96150 mm21 °C-7 °CQ̇ = ?

Una parete è composta da 200 mm di cartongesso e 150 mm di vetro, con un’area di 6 m². Le facce esterne sono a 21 °C e -7 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.

L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 21 °CT3 = -7 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Lana minerale, k = 0,0450 mmCartongesso, k = 0,17100 mmstanza 20 °Cesterno 3 °CTs​ = ?Q̇

Una parete di 50 mm lana minerale e 100 mm cartongesso separa una stanza a 20 °C dall’aria esterna a 3 °C. I coefficienti di convezione sono 10 W/(m²·K) all’interno e 20 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 4 m². Trova la temperatura Ts della superficie interna della parete.

L1 = 50 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 4 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 3 °C
Ts = °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT145 °C115 °C30 °C20 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

Uno scambiatore a fascio tubiero (un passaggio lato mantello, due passaggi lato tubi) deve trasferire 760 kW. Il fluido caldo si raffredda da 145 a 115 °C e il fluido freddo si riscalda da 20 a 30 °C. Il fattore di correzione della LMTD per questa configurazione è F = 0,8, e U = 300 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.

Q̇ = 760 kWF = 0,8U = 300 W/(m²·K)Th: 145 → 115 °CTc: 20 → 30 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT155 °C75 °C38,4 °C25 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

Olio caldo (1 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) si raffredda da 155 a 75 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 3 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 25 °C. Con U = 1500 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.

ṁh = 1 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 155 → 75 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Q̇ = 126,1 W

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·6) = 0,1961 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,96·6) = 0,02604 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 28/0,2221 = 126,1 W

Risposta

Q̇ = 126,1 W
2.Conduzione del calore

Risposta: Ts = 19,14 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·4) = 0,025 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,04·4) = 0,3125 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·4) = 0,1471 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·4) = 0,0125 K/W
ΣR = 0,4971 K/W

Perdita di calore

Q̇ = (20 − (3))/0,4971 = 34,2 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 34,2·0,025 = 19,14 °C

Risposta

Ts = 19,14 °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 30,25 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Differenze di temperatura agli estremi (controcorrente)

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 145 − 30 = 115 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 115 − 20 = 95 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (115 − 95)/ln(115/95) = 104,7 K

Area

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 760000/(300·0,8·104,7) = 30,25 m²

Risposta

A = 30,25 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 1,424 m²

Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.

Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,1·80 = 168 kW
Tc,out = 25 + 168/(3·4,18) = 38,4 °C

Differenze di temperatura agli estremi

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 155 − 38,4 = 116,6 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 75 − 25 = 50 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (116,6 − 50)/ln(116,6/50) = 78,66 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 168000/(1500·78,66) = 1,424 m²

Risposta

A = 1,424 m²

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