Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Cartongesso, k = 0,1750 mmLana minerale, k = 0,0475 mm18 °C-1 °CTi​ = ?Q̇

Una parete è composta da 50 mm di cartongesso e 75 mm di lana minerale, con un’area di 12 m². Le facce esterne sono a 18 °C e -1 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.

L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 18 °CT3 = -1 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Calcestruzzo, k = 1,4150 mmVetro, k = 0,96150 mmstanza 20 °Cesterno 4 °CTs​ = ?Q̇

Una parete di 150 mm calcestruzzo e 150 mm vetro separa una stanza a 20 °C dall’aria esterna a 4 °C. I coefficienti di convezione sono 7,7 W/(m²·K) all’interno e 30 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 10 m². Trova la temperatura Ts della superficie interna della parete.

L1 = 150 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 10 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 4 °C
Ts = °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT165 °C150 °C20 °C35 °CΔT₁ΔT₂equicorrente

Uno scambiatore di calore equicorrente trasferisce 360 kW. La sua area di scambio è 3 m². Il fluido caldo si raffredda da 165 a 150 °C e il fluido freddo si riscalda da 20 a 35 °C. Trova il coefficiente globale di scambio U.

Q̇ = 360 kWA = 3 m²Th: 165 → 150 °CTc: 20 → 35 °C
U = W/(m²·K)
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT140 °C10 °C?ΔT₁ΔT₂vapore che condensa

Il vapore condensa a 140 °C costanti all’esterno dei tubi di un condensatore con un’area di scambio di 3 m² e U = 1500 W/(m²·K). L’acqua di raffreddamento (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) entra nei tubi a 10 °C. Trova la temperatura di uscita dell’acqua Tc,out.

Ts = 140 °CA = 3 m²U = 1500 W/(m²·K)ṁ = 1,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °C
Tc,out = °C

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Ti = 15,42 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·12) = 0,02451 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,04·12) = 0,1563 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 19/0,1808 = 105,1 W

Temperatura all’interfaccia

La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 18 − 105,1·0,02451 = 15,42 °C

Risposta

Ti = 15,42 °C
2.Conduzione del calore

Risposta: Ts = 15,13 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·10) = 0,01299 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(1,4·10) = 0,01071 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,96·10) = 0,01563 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·10) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,04266 K/W

Perdita di calore

Q̇ = (20 − (4))/0,04266 = 375,1 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 375,1·0,01299 = 15,13 °C

Risposta

Ts = 15,13 °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: U = 927,2 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Differenze di temperatura agli estremi

In equicorrente entrambi gli ingressi sono allo stesso estremo, ed entrambe le uscite all’altro.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 165 − 20 = 145 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 150 − 35 = 115 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (145 − 115)/ln(145/115) = 129,4 K

Coefficiente globale

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 360000/(3·129,4) = 927,2 W/(m²·K)

Risposta

U = 927,2 W/(m²·K)
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: Tc,out = 76,58 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Combina il bilancio energetico e l’equazione di scambio

Con ΔT₁ = Ts − Tc,in e ΔT₂ = Ts − Tc,out, la differenza ΔT₁ − ΔT₂ è uguale all’aumento di temperatura dell’acqua, quindi l’aumento si semplifica.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1500·3/(1,5·4180) = 0,7177

Temperatura di uscita

ΔT₂ = ΔT₁·e−0,7177 = 130·0,4879 = 63,42 K
Tc,out = 140 − 63,42 = 76,58 °C

Risposta

Tc,out = 76,58 °C

Calore trasferito: Q̇ = 417,4 kW.

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