Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Legno, k = 0,17250 mmCartongesso, k = 0,1725 mm16 °C5 °CQ̇ = ?

Una parete è composta da 250 mm di legno e 25 mm di cartongesso, con un’area di 15 m². Le facce esterne sono a 16 °C e 5 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.

L1 = 250 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 16 °CT3 = 5 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Cartongesso, k = 0,17200 mmCalcestruzzo, k = 1,425 mmstanza 22 °Cesterno 4 °CTs​ = ?Q̇

Una parete di 200 mm cartongesso e 25 mm calcestruzzo separa una stanza a 22 °C dall’aria esterna a 4 °C. I coefficienti di convezione sono 7,7 W/(m²·K) all’interno e 20 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 12 m². Trova la temperatura Ts della superficie interna della parete.

L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 12 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 4 °C
Ts = °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT170 °C75 °C75 °C25 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

Uno scambiatore a fascio tubiero (un passaggio lato mantello, due passaggi lato tubi) deve trasferire 150 kW. Il fluido caldo si raffredda da 170 a 75 °C e il fluido freddo si riscalda da 25 a 75 °C. Il fattore di correzione della LMTD per questa configurazione è F = 0,95, e U = 800 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.

Q̇ = 150 kWF = 0,95U = 800 W/(m²·K)Th: 170 → 75 °CTc: 25 → 75 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT165 °C95 °C71,87 °C30 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

Olio caldo (2 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) si raffredda da 165 a 95 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 2 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 30 °C. Con U = 1000 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.

ṁh = 2 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 165 → 95 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Q̇ = 102 W

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,17·15) = 0,09804 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·15) = 0,009804 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 11/0,1078 = 102 W

Risposta

Q̇ = 102 W
2.Conduzione del calore

Risposta: Ts = 20,3 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·12) = 0,01082 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·12) = 0,09804 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(1,4·12) = 0,001488 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·12) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,1145 K/W

Perdita di calore

Q̇ = (22 − (4))/0,1145 = 157,2 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 157,2·0,01082 = 20,3 °C

Risposta

Ts = 20,3 °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 2,815 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Differenze di temperatura agli estremi (controcorrente)

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 170 − 75 = 95 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 75 − 25 = 50 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (95 − 50)/ln(95/50) = 70,11 K

Area

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 150000/(800·0,95·70,11) = 2,815 m²

Risposta

A = 2,815 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 4,474 m²

Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.

Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2,5·70 = 350 kW
Tc,out = 30 + 350/(2·4,18) = 71,87 °C

Differenze di temperatura agli estremi

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 165 − 71,87 = 93,13 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 95 − 30 = 65 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (93,13 − 65)/ln(93,13/65) = 78,23 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 350000/(1000·78,23) = 4,474 m²

Risposta

A = 4,474 m²

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