Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 200 mm di polistirene espanso e 25 mm di legno, con un’area di 8 m². Le facce esterne sono a 21 °C e 6 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.
L1 = 200 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 21 °CT3 = 6 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 150 mm lana minerale e 150 mm legno separa una stanza a 22 °C dall’aria esterna a 2 °C. I coefficienti di convezione sono 8 W/(m²·K) all’interno e 20 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 4 m². Trova la perdita di calore Q̇ attraverso la parete.
L1 = 150 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 4 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 2 °C
Q̇ = W
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore controcorrente trasferisce 370 kW. Il fluido caldo si raffredda da 145 a 35 °C e il fluido freddo si riscalda da 20 a 75 °C. Il coefficiente globale di scambio è 1500 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Q̇ = 370 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 145 → 35 °CTc: 20 → 75 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
In uno scambiatore a doppio tubo equicorrente, olio caldo (0,3 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) scorre nel tubo interno e si raffredda da 130 a 75 °C. Acqua (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) nell’intercapedine anulare entra a 15 °C. Il tubo interno ha un diametro di 20 mm, e U = 500 W/(m²·K) è riferito a questo diametro. Trova la lunghezza del tubo L necessaria.
ṁh = 0,3 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 130 → 75 °Cṁc = 1,5 kg/sTc,in = 15 °CD = 20 mmU = 500 W/(m²·K)
L = m
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 20,47 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,035·8) = 0,7143 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·8) = 0,01838 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 15/0,7327 = 20,47 W
Risposta
Q̇ = 20,47 W
2.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 16,64 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·4) = 0,03125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,04·4) = 0,9375 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·4) = 0,2206 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·4) = 0,0125 K/W
ΣR = 1,202 K/W
Perdita di calore
Q̇ = (22 − (2))/1,202 = 16,64 W
Risposta
Q̇ = 16,64 W
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 6,909 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 145 − 75 = 70 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 35 − 20 = 15 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (70 − 15)/ln(70/15) = 35,7 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 370000/(1500·35,7) = 6,909 m²
Risposta
A = 6,909 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: L = 16,35 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua
Q̇ = 0,3·2,5·(130 − 75) = 41,25 kW
Tc,out = 15 + 41,25/(1,5·4,18) = 21,58 °C
Differenze di temperatura agli estremi
In equicorrente entrambi gli ingressi sono allo stesso estremo, ed entrambe le uscite all’altro.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 130 − 15 = 115 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 75 − 21,58 = 53,42 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (115 − 53,42)/ln(115/53,42) = 80,31 K
Area e lunghezza
A = 41250/(500·80,31) = 1,027 m²
L = A/(πD) = 1,027/(π·0,02) = 16,35 m
Risposta
L = 16,35 m
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