Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Polistirene espanso, k = 0,035200 mmLana minerale, k = 0,0475 mm21 °C-1 °CTi​ = ?Q̇

Una parete è composta da 200 mm di polistirene espanso e 75 mm di lana minerale, con un’area di 12 m². Le facce esterne sono a 21 °C e -1 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.

L1 = 200 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 21 °CT3 = -1 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Lana minerale, k = 0,04100 mmCalcestruzzo, k = 1,450 mmstanza 20 °Cesterno -3 °CQ̇

Una parete di 100 mm lana minerale e 50 mm calcestruzzo separa una stanza a 20 °C dall’aria esterna a -3 °C. I coefficienti di convezione sono 8 W/(m²·K) all’interno e 30 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 15 m². Trova la trasmittanza termica U della parete.

L1 = 100 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 15 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -3 °C
U = W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT105 °C20 °C75 °CΔT₁ΔT₂vapore che condensa

In un condensatore, il vapore condensa a 105 °C costanti all’esterno dei tubi. L’acqua di raffreddamento (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) scorre nei tubi e si riscalda da 20 a 75 °C. Il coefficiente globale di scambio è 1500 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.

Ts = 105 °Cṁ = 1,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 20 → 75 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT105 °C20 °C?ΔT₁ΔT₂vapore che condensa

Il vapore condensa a 105 °C costanti all’esterno dei tubi di un condensatore con un’area di scambio di 8 m² e U = 2500 W/(m²·K). L’acqua di raffreddamento (2 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) entra nei tubi a 20 °C. Trova la temperatura di uscita dell’acqua Tc,out.

Ts = 105 °CA = 8 m²U = 2500 W/(m²·K)ṁ = 2 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °C
Tc,out = °C

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Ti = 4,435 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,035·12) = 0,4762 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,04·12) = 0,1563 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 22/0,6324 = 34,79 W

Temperatura all’interfaccia

La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 21 − 34,79·0,4762 = 4,435 °C

Risposta

Ti = 4,435 °C
2.Conduzione del calore

Risposta: U = 0,3712 W/(m²·K)

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·15) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,04·15) = 0,1667 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(1,4·15) = 0,002381 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·15) = 0,002222 K/W
ΣR = 0,1796 K/W

Coefficiente globale

U = 1/(A·ΣR) = 1/(15·0,1796) = 0,3712 W/(m²·K)

Risposta

U = 0,3712 W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 4,353 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Potenza termica dal lato acqua

Q̇ = 1,5·4,18·(75 − 20) = 344,8 kW

Differenze di temperatura agli estremi

ΔT₁ = 105 − 20 = 85 K
ΔT₂ = 105 − 75 = 30 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (85 − 30)/ln(85/30) = 52,81 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 344850/(1500·52,81) = 4,353 m²

Risposta

A = 4,353 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: Tc,out = 97,23 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Combina il bilancio energetico e l’equazione di scambio

Con ΔT₁ = Ts − Tc,in e ΔT₂ = Ts − Tc,out, la differenza ΔT₁ − ΔT₂ è uguale all’aumento di temperatura dell’acqua, quindi l’aumento si semplifica.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 2500·8/(2·4180) = 2,392

Temperatura di uscita

ΔT₂ = ΔT₁·e−2,392 = 85·0,09142 = 7,77 K
Tc,out = 105 − 7,77 = 97,23 °C

Risposta

Tc,out = 97,23 °C

Calore trasferito: Q̇ = 645,6 kW.

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