Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Calcestruzzo, k = 1,4150 mmCartongesso, k = 0,17100 mm17 °C-4 °CTi​ = ?Q̇

Una parete è composta da 150 mm di calcestruzzo e 100 mm di cartongesso, con un’area di 15 m². Le facce esterne sono a 17 °C e -4 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.

L1 = 150 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 17 °CT3 = -4 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Cartongesso, k = 0,1750 mmLegno, k = 0,17150 mmstanza 21 °Cesterno 4 °CQ̇ = ?

Una parete di 50 mm cartongesso e 150 mm legno separa una stanza a 21 °C dall’aria esterna a 4 °C. I coefficienti di convezione sono 10 W/(m²·K) all’interno e 20 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 6 m². Trova la perdita di calore Q̇ attraverso la parete.

L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 6 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = 4 °C
Q̇ = W
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT90 °C40 °C35 °C10 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

Uno scambiatore a fascio tubiero (un passaggio lato mantello, due passaggi lato tubi) deve trasferire 460 kW. Il fluido caldo si raffredda da 90 a 40 °C e il fluido freddo si riscalda da 10 a 35 °C. Il fattore di correzione della LMTD per questa configurazione è F = 0,85, e U = 500 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.

Q̇ = 460 kWF = 0,85U = 500 W/(m²·K)Th: 90 → 40 °CTc: 10 → 35 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT95 °C??15 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

In uno scambiatore controcorrente entrambe le correnti hanno la stessa capacità termica oraria, ṁ·cp = 0,5 kW/K. La corrente calda entra a 95 °C e quella fredda a 15 °C. Lo scambiatore ha A = 4 m² e U = 500 W/(m²·K). Trova la temperatura di uscita della corrente calda Th,out.

Ch = Cc = 0,5 kW/KTh,in = 95 °CTc,in = 15 °CA = 4 m²U = 500 W/(m²·K)
Th,out = °C

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Ti = 13,76 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(1,4·15) = 0,007143 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·15) = 0,03922 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 21/0,04636 = 453 W

Temperatura all’interfaccia

La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 17 − 453·0,007143 = 13,76 °C

Risposta

Ti = 13,76 °C
2.Conduzione del calore

Risposta: Q̇ = 76,9 W

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·6) = 0,01667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·6) = 0,04902 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·6) = 0,1471 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·6) = 0,008333 K/W
ΣR = 0,2211 K/W

Perdita di calore

Q̇ = (21 − (4))/0,2211 = 76,9 W

Risposta

Q̇ = 76,9 W
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 26,24 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Differenze di temperatura agli estremi (controcorrente)

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 90 − 35 = 55 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 40 − 10 = 30 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (55 − 30)/ln(55/30) = 41,24 K

Area

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 460000/(500·0,85·41,24) = 26,24 m²

Risposta

A = 26,24 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: Th,out = 31 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Differenza di temperatura costante

L’uscita fredda si trova di fronte all’ingresso caldo: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), quindi ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.

ΔTlm = Th,out − Tc,in

Bilancio energetico uguale all’equazione di scambio

0,5·(95 − Th,out) = 2·(Th,out − 15)
Th,out = (0,5·95 + 2·15)/(0,5 + 2) = 31 °C

Risposta

Th,out = 31 °C

Calore trasferito: Q̇ = 32 kW; la corrente fredda esce a 79 °C.

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