Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Mattone, k = 0,7250 mmLana minerale, k = 0,04150 mm25 °C-5 °CQ̇ = ?

Una parete è composta da 50 mm di mattone e 150 mm di lana minerale, con un’area di 15 m². Le facce esterne sono a 25 °C e -5 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.

L1 = 50 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 25 °CT3 = -5 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Vetro, k = 0,96150 mmMattone, k = 0,7225 mmstanza 20 °Cesterno -15 °CQ̇

Una parete di 150 mm vetro e 25 mm mattone separa una stanza a 20 °C dall’aria esterna a -15 °C. I coefficienti di convezione sono 6 W/(m²·K) all’interno e 30 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 10 m². Trova la trasmittanza termica U della parete.

L1 = 150 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 10 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -15 °C
U = W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT155 °C50 °C140 °C20 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

Uno scambiatore controcorrente trasferisce 330 kW. Il fluido caldo si raffredda da 155 a 50 °C e il fluido freddo si riscalda da 20 a 140 °C. Il coefficiente globale di scambio è 500 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.

Q̇ = 330 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 155 → 50 °CTc: 20 → 140 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT135 °C85 °C?25 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

In uno scambiatore a doppio tubo controcorrente, olio caldo (0,5 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) scorre nel tubo interno e si raffredda da 135 a 85 °C. Acqua (0,3 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) nell’intercapedine anulare entra a 25 °C. Il tubo interno ha un diametro di 25 mm, e U = 150 W/(m²·K) è riferito a questo diametro. Trova la lunghezza del tubo L necessaria.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 135 → 85 °Cṁc = 0,3 kg/sTc,in = 25 °CD = 25 mmU = 150 W/(m²·K)
L = m

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Q̇ = 117,8 W

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,72·15) = 0,00463 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,04·15) = 0,25 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 30/0,2546 = 117,8 W

Risposta

Q̇ = 117,8 W
2.Conduzione del calore

Risposta: U = 2,558 W/(m²·K)

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·10) = 0,01667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,96·10) = 0,01563 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,72·10) = 0,003472 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·10) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,0391 K/W

Coefficiente globale

U = 1/(A·ΣR) = 1/(10·0,0391) = 2,558 W/(m²·K)

Risposta

U = 2,558 W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 30,5 m²

Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.

Differenze di temperatura agli estremi

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 155 − 140 = 15 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 20 = 30 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (15 − 30)/ln(15/30) = 21,64 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 330000/(500·21,64) = 30,5 m²

Risposta

A = 30,5 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: L = 69,65 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua

Q̇ = 0,5·2,1·(135 − 85) = 52,5 kW
Tc,out = 25 + 52,5/(0,3·4,18) = 66,87 °C

Differenze di temperatura agli estremi

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 135 − 66,87 = 68,13 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 85 − 25 = 60 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (68,13 − 60)/ln(68,13/60) = 63,98 K

Area e lunghezza

A = 52500/(150·63,98) = 5,47 m²
L = A/(πD) = 5,47/(π·0,025) = 69,65 m

Risposta

L = 69,65 m

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