Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Cartongesso, k = 0,1750 mmLegno, k = 0,17150 mm17 °C-4 °CTi​ = ?Q̇

Una parete è composta da 50 mm di cartongesso e 150 mm di legno, con un’area di 10 m². Le facce esterne sono a 17 °C e -4 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.

L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 17 °CT3 = -4 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Calcestruzzo, k = 1,4100 mmLegno, k = 0,1750 mmstanza 20 °Cesterno -3 °CTs​ = ?Q̇

Una parete di 100 mm calcestruzzo e 50 mm legno separa una stanza a 20 °C dall’aria esterna a -3 °C. I coefficienti di convezione sono 10 W/(m²·K) all’interno e 30 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 8 m². Trova la temperatura Ts della superficie interna della parete.

L1 = 100 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 8 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -3 °C
Ts = °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT155 °C80 °C115 °C25 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

Uno scambiatore controcorrente trasferisce 150 kW. Il fluido caldo si raffredda da 155 a 80 °C e il fluido freddo si riscalda da 25 a 115 °C. Il coefficiente globale di scambio è 200 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.

Q̇ = 150 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 155 → 80 °CTc: 25 → 115 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT120 °C85 °C28,21 °C25 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

Olio caldo (0,5 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) si raffredda da 120 a 85 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 3 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 25 °C. Con U = 500 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 120 → 85 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 500 W/(m²·K)
A = m²

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Ti = 11,75 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·10) = 0,02941 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·10) = 0,08824 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 21/0,1176 = 178,5 W

Temperatura all’interfaccia

La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 17 − 178,5·0,02941 = 11,75 °C

Risposta

Ti = 11,75 °C
2.Conduzione del calore

Risposta: Ts = 15,39 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·8) = 0,0125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(1,4·8) = 0,008929 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·8) = 0,03676 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·8) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,06236 K/W

Perdita di calore

Q̇ = (20 − (-3))/0,06236 = 368,8 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 368,8·0,0125 = 15,39 °C

Risposta

Ts = 15,39 °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 15,92 m²

Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.

Differenze di temperatura agli estremi

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 155 − 115 = 40 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 80 − 25 = 55 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (40 − 55)/ln(40/55) = 47,1 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 150000/(200·47,1) = 15,92 m²

Risposta

A = 15,92 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 1,077 m²

Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.

Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,3·35 = 40,25 kW
Tc,out = 25 + 40,25/(3·4,18) = 28,21 °C

Differenze di temperatura agli estremi

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 120 − 28,21 = 91,79 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 85 − 25 = 60 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (91,79 − 60)/ln(91,79/60) = 74,77 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 40250/(500·74,77) = 1,077 m²

Risposta

A = 1,077 m²

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