Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 150 mm di cartongesso e 50 mm di vetro, con un’area di 12 m². Le facce esterne sono a 15 °C e -10 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.
L1 = 150 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 15 °CT3 = -10 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 100 mm legno e 50 mm cartongesso separa una stanza a 22 °C dall’aria esterna a -4 °C. I coefficienti di convezione sono 8 W/(m²·K) all’interno e 25 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 4 m². Trova la temperatura Ts della superficie interna della parete.
L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 4 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -4 °C
Ts = °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore equicorrente trasferisce 130 kW. Il fluido caldo si raffredda da 165 a 75 °C e il fluido freddo si riscalda da 15 a 65 °C. Il coefficiente globale di scambio è 1000 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Q̇ = 130 kWU = 1000 W/(m²·K)Th: 165 → 75 °CTc: 15 → 65 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
In uno scambiatore controcorrente entrambe le correnti hanno la stessa capacità termica oraria, ṁ·cp = 4 kW/K. La corrente calda entra a 180 °C e quella fredda a 15 °C. Lo scambiatore ha A = 4 m² e U = 300 W/(m²·K). Trova la temperatura di uscita della corrente calda Th,out.
Ch = Cc = 4 kW/KTh,in = 180 °CTc,in = 15 °CA = 4 m²U = 300 W/(m²·K)
Th,out = °C
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Ti = −8,607 °C
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,17·12) = 0,07353 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,96·12) = 0,00434 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 25/0,07787 = 321 W
Temperatura all’interfaccia
La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 15 − 321·0,07353 = −8,607 °C
Risposta
Ti = −8,607 °C
2.Conduzione del calore
Risposta: Ts = 18,9 °C
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·4) = 0,03125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·4) = 0,1471 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·4) = 0,07353 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·4) = 0,01 K/W
ΣR = 0,2618 K/W
Perdita di calore
Q̇ = (22 − (-4))/0,2618 = 99,3 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 99,3·0,03125 = 18,9 °C
Risposta
Ts = 18,9 °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 2,515 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Differenze di temperatura agli estremi
In equicorrente entrambi gli ingressi sono allo stesso estremo, ed entrambe le uscite all’altro.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 165 − 15 = 150 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 75 − 65 = 10 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (150 − 10)/ln(150/10) = 51,7 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 130000/(1000·51,7) = 2,515 m²
Risposta
A = 2,515 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: Th,out = 141,9 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Differenza di temperatura costante
L’uscita fredda si trova di fronte all’ingresso caldo: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), quindi ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.
ΔTlm = Th,out − Tc,in
Bilancio energetico uguale all’equazione di scambio
4·(180 − Th,out) = 1,2·(Th,out − 15)
Th,out = (4·180 + 1,2·15)/(4 + 1,2) = 141,9 °C
Risposta
Th,out = 141,9 °C
Calore trasferito: Q̇ = 152,3 kW; la corrente fredda esce a 53,08 °C.
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