Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Polistirene espanso, k = 0,035100 mmCartongesso, k = 0,1775 mm25 °C-5 °CQ̇ = ?

Una parete è composta da 100 mm di polistirene espanso e 75 mm di cartongesso, con un’area di 15 m². Le facce esterne sono a 25 °C e -5 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.

L1 = 100 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 25 °CT3 = -5 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Vetro, k = 0,9650 mmPolistirene espanso, k = 0,035150 mmstanza 20 °Cesterno -8 °CTs​ = ?Q̇

Una parete di 50 mm vetro e 150 mm polistirene espanso separa una stanza a 20 °C dall’aria esterna a -8 °C. I coefficienti di convezione sono 10 W/(m²·K) all’interno e 25 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 12 m². Trova la temperatura Ts della superficie interna della parete.

L1 = 50 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 12 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -8 °C
Ts = °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT155 °C45 °C45 °C10 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

Uno scambiatore controcorrente trasferisce 350 kW. Il fluido caldo si raffredda da 155 a 45 °C e il fluido freddo si riscalda da 10 a 45 °C. Il coefficiente globale di scambio è 800 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.

Q̇ = 350 kWU = 800 W/(m²·K)Th: 155 → 45 °CTc: 10 → 45 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT100 °C70 °C27,94 °C10 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

Olio caldo (1 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) si raffredda da 100 a 70 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 1 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 10 °C. Con U = 300 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.

ṁh = 1 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 100 → 70 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Q̇ = 136,4 W

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,035·15) = 0,1905 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·15) = 0,02941 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 30/0,2199 = 136,4 W

Risposta

Q̇ = 136,4 W
2.Conduzione del calore

Risposta: Ts = 19,37 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·12) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,96·12) = 0,00434 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,035·12) = 0,3571 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·12) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,3731 K/W

Perdita di calore

Q̇ = (20 − (-8))/0,3731 = 75,04 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 75,04·0,008333 = 19,37 °C

Risposta

Ts = 19,37 °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 6,68 m²

Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.

Differenze di temperatura agli estremi

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 155 − 45 = 110 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 45 − 10 = 35 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (110 − 35)/ln(110/35) = 65,49 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 350000/(800·65,49) = 6,68 m²

Risposta

A = 6,68 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 3,797 m²

Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.

Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,5·30 = 75 kW
Tc,out = 10 + 75/(1·4,18) = 27,94 °C

Differenze di temperatura agli estremi

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 27,94 = 72,06 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 70 − 10 = 60 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (72,06 − 60)/ln(72,06/60) = 65,84 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 75000/(300·65,84) = 3,797 m²

Risposta

A = 3,797 m²

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