Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 100 mm di cartongesso e 25 mm di polistirene espanso, con un’area di 4 m². Le facce esterne sono a 18 °C e -3 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.
L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 18 °CT3 = -3 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 250 mm polistirene espanso e 100 mm calcestruzzo separa una stanza a 22 °C dall’aria esterna a 0 °C. I coefficienti di convezione sono 8 W/(m²·K) all’interno e 25 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 15 m². Trova la perdita di calore Q̇ attraverso la parete.
L1 = 250 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 15 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 0 °C
Q̇ = W
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore di calore controcorrente trasferisce 380 kW. La sua area di scambio è 5 m². Il fluido caldo si raffredda da 110 a 75 °C e il fluido freddo si riscalda da 30 a 60 °C. Trova il coefficiente globale di scambio U.
Q̇ = 380 kWA = 5 m²Th: 110 → 75 °CTc: 30 → 60 °C
U = W/(m²·K)
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
In uno scambiatore controcorrente entrambe le correnti hanno la stessa capacità termica oraria, ṁ·cp = 2 kW/K. La corrente calda entra a 145 °C e quella fredda a 30 °C. Lo scambiatore ha A = 2 m² e U = 500 W/(m²·K). Trova la temperatura di uscita della corrente calda Th,out.
Ch = Cc = 2 kW/KTh,in = 145 °CTc,in = 30 °CA = 2 m²U = 500 W/(m²·K)
Th,out = °C
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Ti = 8,516 °C
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·4) = 0,1471 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,035·4) = 0,1786 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 21/0,3256 = 64,49 W
Temperatura all’interfaccia
La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 18 − 64,49·0,1471 = 8,516 °C
Risposta
Ti = 8,516 °C
2.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 44,72 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·15) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,035·15) = 0,4762 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(1,4·15) = 0,004762 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·15) = 0,002667 K/W
ΣR = 0,492 K/W
Perdita di calore
Q̇ = (22 − (0))/0,492 = 44,72 W
Risposta
Q̇ = 44,72 W
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: U = 1601 W/(m²·K)
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 110 − 60 = 50 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 75 − 30 = 45 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (50 − 45)/ln(50/45) = 47,46 K
Coefficiente globale
U = Q̇/(A·ΔTlm) = 380000/(5·47,46) = 1601 W/(m²·K)
Risposta
U = 1601 W/(m²·K)
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: Th,out = 106,7 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Differenza di temperatura costante
L’uscita fredda si trova di fronte all’ingresso caldo: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), quindi ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.
ΔTlm = Th,out − Tc,in
Bilancio energetico uguale all’equazione di scambio
2·(145 − Th,out) = 1·(Th,out − 30)
Th,out = (2·145 + 1·30)/(2 + 1) = 106,7 °C
Risposta
Th,out = 106,7 °C
Calore trasferito: Q̇ = 76,67 kW; la corrente fredda esce a 68,33 °C.
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer