Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 200 mm di calcestruzzo e 75 mm di legno, con un’area di 6 m². Le facce esterne sono a 19 °C e -12 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.
L1 = 200 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 19 °CT3 = -12 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 250 mm mattone e 50 mm cartongesso separa una stanza a 20 °C dall’aria esterna a 4 °C. I coefficienti di convezione sono 7,7 W/(m²·K) all’interno e 25 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 4 m². Trova la temperatura Ts della superficie interna della parete.
L1 = 250 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 4 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 4 °C
Ts = °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore equicorrente trasferisce 470 kW. Il fluido caldo si raffredda da 165 a 135 °C e il fluido freddo si riscalda da 30 a 130 °C. Il coefficiente globale di scambio è 1500 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Q̇ = 470 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 165 → 135 °CTc: 30 → 130 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
In uno scambiatore a doppio tubo equicorrente, olio caldo (0,5 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) scorre nel tubo interno e si raffredda da 155 a 125 °C. Acqua (0,8 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) nell’intercapedine anulare entra a 25 °C. Il tubo interno ha un diametro di 25 mm, e U = 250 W/(m²·K) è riferito a questo diametro. Trova la lunghezza del tubo L necessaria.
ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 155 → 125 °Cṁc = 0,8 kg/sTc,in = 25 °CD = 25 mmU = 250 W/(m²·K)
L = m
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Ti = 11,42 °C
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(1,4·6) = 0,02381 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·6) = 0,07353 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 31/0,09734 = 318,5 W
Temperatura all’interfaccia
La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 19 − 318,5·0,02381 = 11,42 °C
Risposta
Ti = 11,42 °C
2.Conduzione del calore
Risposta: Ts = 17,44 °C
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·4) = 0,03247 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,72·4) = 0,08681 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·4) = 0,07353 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·4) = 0,01 K/W
ΣR = 0,2028 K/W
Perdita di calore
Q̇ = (20 − (4))/0,2028 = 78,89 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 78,89·0,03247 = 17,44 °C
Risposta
Ts = 17,44 °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 7,944 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Differenze di temperatura agli estremi
In equicorrente entrambi gli ingressi sono allo stesso estremo, ed entrambe le uscite all’altro.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 165 − 30 = 135 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 135 − 130 = 5 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (135 − 5)/ln(135/5) = 39,44 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 470000/(1500·39,44) = 7,944 m²
Risposta
A = 7,944 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: L = 16,18 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua
Q̇ = 0,5·2,3·(155 − 125) = 34,5 kW
Tc,out = 25 + 34,5/(0,8·4,18) = 35,32 °C
Differenze di temperatura agli estremi
In equicorrente entrambi gli ingressi sono allo stesso estremo, ed entrambe le uscite all’altro.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 155 − 25 = 130 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 125 − 35,32 = 89,68 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (130 − 89,68)/ln(130/89,68) = 108,6 K
Area e lunghezza
A = 34500/(250·108,6) = 1,271 m²
L = A/(πD) = 1,271/(π·0,025) = 16,18 m
Risposta
L = 16,18 m
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