Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Legno, k = 0,17200 mmCartongesso, k = 0,1775 mm22 °C-4 °CQ̇ = ?

Una parete è composta da 200 mm di legno e 75 mm di cartongesso, con un’area di 12 m². Le facce esterne sono a 22 °C e -4 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.

L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 22 °CT3 = -4 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Cartongesso, k = 0,17200 mmVetro, k = 0,9650 mmstanza 22 °Cesterno 5 °CTs​ = ?Q̇

Una parete di 200 mm cartongesso e 50 mm vetro separa una stanza a 22 °C dall’aria esterna a 5 °C. I coefficienti di convezione sono 7,7 W/(m²·K) all’interno e 20 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 12 m². Trova la temperatura Ts della superficie interna della parete.

L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 12 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 5 °C
Ts = °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT130 °C25 °C95 °CΔT₁ΔT₂vapore che condensa

In un condensatore, il vapore condensa a 130 °C costanti all’esterno dei tubi. L’acqua di raffreddamento (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) scorre nei tubi e si riscalda da 25 a 95 °C. Il coefficiente globale di scambio è 1500 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.

Ts = 130 °Cṁ = 1,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 25 → 95 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT155 °C100 °C60,39 °C15 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

Olio caldo (1,5 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) si raffredda da 155 a 100 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 1 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 15 °C. Con U = 1500 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.

ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 155 → 100 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Q̇ = 192,9 W

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·12) = 0,09804 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·12) = 0,03676 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 26/0,1348 = 192,9 W

Risposta

Q̇ = 192,9 W
2.Conduzione del calore

Risposta: Ts = 20,43 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·12) = 0,01082 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·12) = 0,09804 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,96·12) = 0,00434 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·12) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,1174 K/W

Perdita di calore

Q̇ = (22 − (5))/0,1174 = 144,8 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 144,8·0,01082 = 20,43 °C

Risposta

Ts = 20,43 °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 4,592 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Potenza termica dal lato acqua

Q̇ = 1,5·4,18·(95 − 25) = 438,9 kW

Differenze di temperatura agli estremi

ΔT₁ = 130 − 25 = 105 K
ΔT₂ = 130 − 95 = 35 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (105 − 35)/ln(105/35) = 63,72 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 438900/(1500·63,72) = 4,592 m²

Risposta

A = 4,592 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 1,41 m²

Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.

Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,3·55 = 189,7 kW
Tc,out = 15 + 189,7/(1·4,18) = 60,39 °C

Differenze di temperatura agli estremi

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 155 − 60,39 = 94,61 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 100 − 15 = 85 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (94,61 − 85)/ln(94,61/85) = 89,72 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 189750/(1500·89,72) = 1,41 m²

Risposta

A = 1,41 m²

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