Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi eserciziTorna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Cartongesso, k = 0,17150 mmMattone, k = 0,72100 mm17 °C7 °CQ̇ = ?

Una parete è composta da 150 mm di cartongesso e 100 mm di mattone, con un’area di 20 m². Le facce esterne sono a 17 °C e 7 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.

L1 = 150 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 17 °CT3 = 7 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Mattone, k = 0,72150 mmCartongesso, k = 0,17100 mmstanza 20 °Cesterno 0 °CTs​ = ?Q̇

Una parete di 150 mm mattone e 100 mm cartongesso separa una stanza a 20 °C dall’aria esterna a 0 °C. I coefficienti di convezione sono 7,7 W/(m²·K) all’interno e 20 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 4 m². Trova la temperatura Ts della superficie interna della parete.

L1 = 150 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 4 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 0 °C
Ts = °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT130 °C25 °C75 °CΔT₁ΔT₂vapore che condensa

In un condensatore, il vapore condensa a 130 °C costanti all’esterno dei tubi. L’acqua di raffreddamento (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) scorre nei tubi e si riscalda da 25 a 75 °C. Il coefficiente globale di scambio è 1500 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.

Ts = 130 °Cṁ = 0,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 25 → 75 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT145 °C100 °C74,52 °C25 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

Olio caldo (1 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) si raffredda da 145 a 100 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 0,5 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 25 °C. Con U = 800 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.

ṁh = 1 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 145 → 100 °Cṁc = 0,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 800 W/(m²·K)
A = m²

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Q̇ = 195,8 W

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,17·20) = 0,04412 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,72·20) = 0,006944 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 10/0,05106 = 195,8 W

Risposta

Q̇ = 195,8 W
2.Conduzione del calore

Risposta: Ts = 17,34 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·4) = 0,03247 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,72·4) = 0,05208 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·4) = 0,1471 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·4) = 0,0125 K/W
ΣR = 0,2441 K/W

Perdita di calore

Q̇ = (20 − (0))/0,2441 = 81,93 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 81,93·0,03247 = 17,34 °C

Risposta

Ts = 17,34 °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 0,901 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Potenza termica dal lato acqua

Q̇ = 0,5·4,18·(75 − 25) = 104,5 kW

Differenze di temperatura agli estremi

ΔT₁ = 130 − 25 = 105 K
ΔT₂ = 130 − 75 = 55 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (105 − 55)/ln(105/55) = 77,32 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 104500/(1500·77,32) = 0,901 m²

Risposta

A = 0,901 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 1,779 m²

Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.

Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,3·45 = 103,5 kW
Tc,out = 25 + 103,5/(0,5·4,18) = 74,52 °C

Differenze di temperatura agli estremi

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 145 − 74,52 = 70,48 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 100 − 25 = 75 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (70,48 − 75)/ln(70,48/75) = 72,72 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 103500/(800·72,72) = 1,779 m²

Risposta

A = 1,779 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer