Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 50 mm di mattone e 150 mm di cartongesso, con un’area di 6 m². Le facce esterne sono a 23 °C e 2 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.
L1 = 50 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 23 °CT3 = 2 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 100 mm legno e 75 mm cartongesso separa una stanza a 21 °C dall’aria esterna a 1 °C. I coefficienti di convezione sono 6 W/(m²·K) all’interno e 25 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 15 m². Trova la perdita di calore Q̇ attraverso la parete.
L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 15 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = 1 °C
Q̇ = W
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore controcorrente trasferisce 360 kW. Il fluido caldo si raffredda da 120 a 55 °C e il fluido freddo si riscalda da 15 a 110 °C. Il coefficiente globale di scambio è 300 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Q̇ = 360 kWU = 300 W/(m²·K)Th: 120 → 55 °CTc: 15 → 110 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
Olio caldo (1 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) si raffredda da 125 a 55 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 2 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 30 °C. Con U = 800 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.
ṁh = 1 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 125 → 55 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °CU = 800 W/(m²·K)
A = m²
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 132,4 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,72·6) = 0,01157 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·6) = 0,1471 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 21/0,1586 = 132,4 W
Risposta
Q̇ = 132,4 W
2.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 242,7 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·15) = 0,01111 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·15) = 0,03922 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·15) = 0,02941 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·15) = 0,002667 K/W
ΣR = 0,08241 K/W
Perdita di calore
Q̇ = (21 − (1))/0,08241 = 242,7 W
Risposta
Q̇ = 242,7 W
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 55,45 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 120 − 110 = 10 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 15 = 40 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (10 − 40)/ln(10/40) = 21,64 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 360000/(300·21,64) = 55,45 m²
Risposta
A = 55,45 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 4,842 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,5·70 = 175 kW
Tc,out = 30 + 175/(2·4,18) = 50,93 °C
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 125 − 50,93 = 74,07 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 30 = 25 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (74,07 − 25)/ln(74,07/25) = 45,18 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 175000/(800·45,18) = 4,842 m²
Risposta
A = 4,842 m²
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