Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 200 mm di legno e 75 mm di mattone, con un’area di 10 m². Le facce esterne sono a 17 °C e -12 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.
L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 17 °CT3 = -12 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 150 mm calcestruzzo e 50 mm vetro separa una stanza a 21 °C dall’aria esterna a 0 °C. I coefficienti di convezione sono 7,7 W/(m²·K) all’interno e 25 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 15 m². Trova la trasmittanza termica U della parete.
L1 = 150 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 15 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = 0 °C
U = W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore a fascio tubiero (un passaggio lato mantello, due passaggi lato tubi) deve trasferire 340 kW. Il fluido caldo si raffredda da 150 a 50 °C e il fluido freddo si riscalda da 15 a 75 °C. Il fattore di correzione della LMTD per questa configurazione è F = 0,88, e U = 200 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Q̇ = 340 kWF = 0,88U = 200 W/(m²·K)Th: 150 → 50 °CTc: 15 → 75 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
Olio caldo (2 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) si raffredda da 90 a 50 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 1,5 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 25 °C. Con U = 1000 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.
ṁh = 2 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 90 → 50 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Ti = −9,641 °C
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·10) = 0,1176 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,72·10) = 0,01042 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 29/0,1281 = 226,4 W
Temperatura all’interfaccia
La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 17 − 226,4·0,1176 = −9,641 °C
Risposta
Ti = −9,641 °C
2.Conduzione del calore
Risposta: U = 3,039 W/(m²·K)
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·15) = 0,008658 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(1,4·15) = 0,007143 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,96·15) = 0,003472 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·15) = 0,002667 K/W
ΣR = 0,02194 K/W
Coefficiente globale
U = 1/(A·ΣR) = 1/(15·0,02194) = 3,039 W/(m²·K)
Risposta
U = 3,039 W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 36,81 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Differenze di temperatura agli estremi (controcorrente)
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 150 − 75 = 75 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 15 = 35 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (75 − 35)/ln(75/35) = 52,48 K
Area
A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 340000/(200·0,88·52,48) = 36,81 m²
Risposta
A = 36,81 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 6,93 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2,5·40 = 200 kW
Tc,out = 25 + 200/(1,5·4,18) = 56,9 °C
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 90 − 56,9 = 33,1 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 25 = 25 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (33,1 − 25)/ln(33,1/25) = 28,86 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 200000/(1000·28,86) = 6,93 m²
Risposta
A = 6,93 m²
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