Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Calcestruzzo, k = 1,4250 mmMattone, k = 0,72100 mm18 °C-1 °CQ̇ = ?

Una parete è composta da 250 mm di calcestruzzo e 100 mm di mattone, con un’area di 20 m². Le facce esterne sono a 18 °C e -1 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.

L1 = 250 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 18 °CT3 = -1 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Calcestruzzo, k = 1,450 mmLana minerale, k = 0,0450 mmstanza 22 °Cesterno -11 °CQ̇ = ?

Una parete di 50 mm calcestruzzo e 50 mm lana minerale separa una stanza a 22 °C dall’aria esterna a -11 °C. I coefficienti di convezione sono 8 W/(m²·K) all’interno e 25 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 10 m². Trova la perdita di calore Q̇ attraverso la parete.

L1 = 50 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 10 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -11 °C
Q̇ = W
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT85 °C65 °C75 °C30 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

Uno scambiatore a fascio tubiero (un passaggio lato mantello, due passaggi lato tubi) deve trasferire 680 kW. Il fluido caldo si raffredda da 85 a 65 °C e il fluido freddo si riscalda da 30 a 75 °C. Il fattore di correzione della LMTD per questa configurazione è F = 0,95, e U = 1000 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.

Q̇ = 680 kWF = 0,95U = 1000 W/(m²·K)Th: 85 → 65 °CTc: 30 → 75 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT85 °C??20 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

In uno scambiatore controcorrente entrambe le correnti hanno la stessa capacità termica oraria, ṁ·cp = 3 kW/K. La corrente calda entra a 85 °C e quella fredda a 20 °C. Lo scambiatore ha A = 5 m² e U = 300 W/(m²·K). Trova la temperatura di uscita della corrente calda Th,out.

Ch = Cc = 3 kW/KTh,in = 85 °CTc,in = 20 °CA = 5 m²U = 300 W/(m²·K)
Th,out = °C

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Q̇ = 1197 W

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(1,4·20) = 0,008929 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,72·20) = 0,006944 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 19/0,01587 = 1197 W

Risposta

Q̇ = 1197 W
2.Conduzione del calore

Risposta: Q̇ = 227,5 W

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·10) = 0,0125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(1,4·10) = 0,003571 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,04·10) = 0,125 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·10) = 0,004 K/W
ΣR = 0,1451 K/W

Perdita di calore

Q̇ = (22 − (-11))/0,1451 = 227,5 W

Risposta

Q̇ = 227,5 W
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 35,87 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Differenze di temperatura agli estremi (controcorrente)

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 85 − 75 = 10 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 65 − 30 = 35 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (10 − 35)/ln(10/35) = 19,96 K

Area

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 680000/(1000·0,95·19,96) = 35,87 m²

Risposta

A = 35,87 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: Th,out = 63,33 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Differenza di temperatura costante

L’uscita fredda si trova di fronte all’ingresso caldo: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), quindi ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.

ΔTlm = Th,out − Tc,in

Bilancio energetico uguale all’equazione di scambio

3·(85 − Th,out) = 1,5·(Th,out − 20)
Th,out = (3·85 + 1,5·20)/(3 + 1,5) = 63,33 °C

Risposta

Th,out = 63,33 °C

Calore trasferito: Q̇ = 65 kW; la corrente fredda esce a 41,67 °C.

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