Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 150 mm di legno e 100 mm di mattone, con un’area di 12 m². Le facce esterne sono a 25 °C e 4 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.
L1 = 150 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 25 °CT3 = 4 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 250 mm calcestruzzo e 25 mm lana minerale separa una stanza a 21 °C dall’aria esterna a -2 °C. I coefficienti di convezione sono 6 W/(m²·K) all’interno e 30 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 8 m². Trova la perdita di calore Q̇ attraverso la parete.
L1 = 250 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 8 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -2 °C
Q̇ = W
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore a fascio tubiero (un passaggio lato mantello, due passaggi lato tubi) deve trasferire 420 kW. Il fluido caldo si raffredda da 165 a 45 °C e il fluido freddo si riscalda da 25 a 50 °C. Il fattore di correzione della LMTD per questa configurazione è F = 0,92, e U = 200 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Q̇ = 420 kWF = 0,92U = 200 W/(m²·K)Th: 165 → 45 °CTc: 25 → 50 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
In uno scambiatore a doppio tubo controcorrente, olio caldo (1 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) scorre nel tubo interno e si raffredda da 160 a 125 °C. Acqua (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) nell’intercapedine anulare entra a 20 °C. Il tubo interno ha un diametro di 25 mm, e U = 300 W/(m²·K) è riferito a questo diametro. Trova la lunghezza del tubo L necessaria.
ṁh = 1 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 160 → 125 °Cṁc = 0,5 kg/sTc,in = 20 °CD = 25 mmU = 300 W/(m²·K)
L = m
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Ti = 6,856 °C
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,17·12) = 0,07353 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,72·12) = 0,01157 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 21/0,0851 = 246,8 W
Temperatura all’interfaccia
La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 25 − 246,8·0,07353 = 6,856 °C
Risposta
Ti = 6,856 °C
2.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 183,3 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·8) = 0,02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(1,4·8) = 0,02232 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,04·8) = 0,07813 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·8) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,1254 K/W
Perdita di calore
Q̇ = (21 − (-2))/0,1254 = 183,3 W
Risposta
Q̇ = 183,3 W
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 42,03 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Differenze di temperatura agli estremi (controcorrente)
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 165 − 50 = 115 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 45 − 25 = 20 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (115 − 20)/ln(115/20) = 54,31 K
Area
A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 420000/(200·0,92·54,31) = 42,03 m²
Risposta
A = 42,03 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: L = 33,1 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua
Q̇ = 1·2,3·(160 − 125) = 80,5 kW
Tc,out = 20 + 80,5/(0,5·4,18) = 58,52 °C
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 160 − 58,52 = 101,5 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 125 − 20 = 105 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (101,5 − 105)/ln(101,5/105) = 103,2 K
Area e lunghezza
A = 80500/(300·103,2) = 2,599 m²
L = A/(πD) = 2,599/(π·0,025) = 33,1 m
Risposta
L = 33,1 m
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