Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Mattone, k = 0,72250 mmLana minerale, k = 0,0475 mm20 °C0 °CQ̇ = ?

Una parete è composta da 250 mm di mattone e 75 mm di lana minerale, con un’area di 10 m². Le facce esterne sono a 20 °C e 0 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.

L1 = 250 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 20 °CT3 = 0 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Mattone, k = 0,72100 mmVetro, k = 0,96100 mmstanza 22 °Cesterno -1 °CTs​ = ?Q̇

Una parete di 100 mm mattone e 100 mm vetro separa una stanza a 22 °C dall’aria esterna a -1 °C. I coefficienti di convezione sono 7,7 W/(m²·K) all’interno e 30 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 15 m². Trova la temperatura Ts della superficie interna della parete.

L1 = 100 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 15 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -1 °C
Ts = °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT105 °C90 °C10 °C75 °CΔT₁ΔT₂equicorrente

Uno scambiatore equicorrente trasferisce 350 kW. Il fluido caldo si raffredda da 105 a 90 °C e il fluido freddo si riscalda da 10 a 75 °C. Il coefficiente globale di scambio è 1500 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.

Q̇ = 350 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 105 → 90 °CTc: 10 → 75 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT160 °C55 °C?25 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

In uno scambiatore a doppio tubo controcorrente, olio caldo (0,2 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) scorre nel tubo interno e si raffredda da 160 a 55 °C. Acqua (0,8 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) nell’intercapedine anulare entra a 25 °C. Il tubo interno ha un diametro di 32 mm, e U = 250 W/(m²·K) è riferito a questo diametro. Trova la lunghezza del tubo L necessaria.

ṁh = 0,2 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 160 → 55 °Cṁc = 0,8 kg/sTc,in = 25 °CD = 32 mmU = 250 W/(m²·K)
L = m

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Q̇ = 90 W

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,72·10) = 0,03472 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,04·10) = 0,1875 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 20/0,2222 = 90 W

Risposta

Q̇ = 90 W
2.Conduzione del calore

Risposta: Ts = 14,65 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·15) = 0,008658 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,72·15) = 0,009259 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,96·15) = 0,006944 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·15) = 0,002222 K/W
ΣR = 0,02708 K/W

Perdita di calore

Q̇ = (22 − (-1))/0,02708 = 849,2 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 849,2·0,008658 = 14,65 °C

Risposta

Ts = 14,65 °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 5,384 m²

Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.

Differenze di temperatura agli estremi

In equicorrente entrambi gli ingressi sono allo stesso estremo, ed entrambe le uscite all’altro.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 105 − 10 = 95 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 90 − 75 = 15 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (95 − 15)/ln(95/15) = 43,34 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 350000/(1500·43,34) = 5,384 m²

Risposta

A = 5,384 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: L = 32,29 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua

Q̇ = 0,2·2,5·(160 − 55) = 52,5 kW
Tc,out = 25 + 52,5/(0,8·4,18) = 40,7 °C

Differenze di temperatura agli estremi

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 160 − 40,7 = 119,3 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 25 = 30 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (119,3 − 30)/ln(119,3/30) = 64,69 K

Area e lunghezza

A = 52500/(250·64,69) = 3,246 m²
L = A/(πD) = 3,246/(π·0,032) = 32,29 m

Risposta

L = 32,29 m

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