Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 200 mm di legno e 25 mm di polistirene espanso, con un’area di 4 m². Le facce esterne sono a 25 °C e -2 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.
L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 25 °CT3 = -2 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 50 mm cartongesso e 75 mm legno separa una stanza a 20 °C dall’aria esterna a 0 °C. I coefficienti di convezione sono 8 W/(m²·K) all’interno e 25 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 4 m². Trova la perdita di calore Q̇ attraverso la parete.
L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 4 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 0 °C
Q̇ = W
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore equicorrente trasferisce 490 kW. Il fluido caldo si raffredda da 155 a 55 °C e il fluido freddo si riscalda da 25 a 40 °C. Il coefficiente globale di scambio è 1000 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Q̇ = 490 kWU = 1000 W/(m²·K)Th: 155 → 55 °CTc: 25 → 40 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
Olio caldo (1,5 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) si raffredda da 175 a 110 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 0,5 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 10 °C. Con U = 1000 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.
ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 175 → 110 °Cṁc = 0,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 57,12 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·4) = 0,2941 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,035·4) = 0,1786 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 27/0,4727 = 57,12 W
Risposta
Q̇ = 57,12 W
2.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 88,86 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·4) = 0,03125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·4) = 0,07353 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·4) = 0,1103 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·4) = 0,01 K/W
ΣR = 0,2251 K/W
Perdita di calore
Q̇ = (20 − (0))/0,2251 = 88,86 W
Risposta
Q̇ = 88,86 W
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 9,201 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Differenze di temperatura agli estremi
In equicorrente entrambi gli ingressi sono allo stesso estremo, ed entrambe le uscite all’altro.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 155 − 25 = 130 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 55 − 40 = 15 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (130 − 15)/ln(130/15) = 53,25 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 490000/(1000·53,25) = 9,201 m²
Risposta
A = 9,201 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 2,484 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,1·65 = 204,8 kW
Tc,out = 10 + 204,8/(0,5·4,18) = 108 °C
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 175 − 108 = 67,03 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 110 − 10 = 100 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (67,03 − 100)/ln(67,03/100) = 82,42 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 204750/(1000·82,42) = 2,484 m²
Risposta
A = 2,484 m²
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer