Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Polistirene espanso, k = 0,035150 mmVetro, k = 0,96100 mm21 °C-11 °CQ̇ = ?

Una parete è composta da 150 mm di polistirene espanso e 100 mm di vetro, con un’area di 8 m². Le facce esterne sono a 21 °C e -11 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.

L1 = 150 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 21 °CT3 = -11 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Cartongesso, k = 0,17250 mmMattone, k = 0,7275 mmstanza 22 °Cesterno -1 °CTs​ = ?Q̇

Una parete di 250 mm cartongesso e 75 mm mattone separa una stanza a 22 °C dall’aria esterna a -1 °C. I coefficienti di convezione sono 7,7 W/(m²·K) all’interno e 25 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 4 m². Trova la temperatura Ts della superficie interna della parete.

L1 = 250 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 4 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -1 °C
Ts = °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT120 °C65 °C80 °C15 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

Uno scambiatore a fascio tubiero (un passaggio lato mantello, due passaggi lato tubi) deve trasferire 80 kW. Il fluido caldo si raffredda da 120 a 65 °C e il fluido freddo si riscalda da 15 a 80 °C. Il fattore di correzione della LMTD per questa configurazione è F = 0,92, e U = 300 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.

Q̇ = 80 kWF = 0,92U = 300 W/(m²·K)Th: 120 → 65 °CTc: 15 → 80 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT140 °C20 °C?ΔT₁ΔT₂vapore che condensa

Il vapore condensa a 140 °C costanti all’esterno dei tubi di un condensatore con un’area di scambio di 8 m² e U = 1000 W/(m²·K). L’acqua di raffreddamento (2 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) entra nei tubi a 20 °C. Trova la temperatura di uscita dell’acqua Tc,out.

Ts = 140 °CA = 8 m²U = 1000 W/(m²·K)ṁ = 2 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °C
Tc,out = °C

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Q̇ = 58,32 W

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,035·8) = 0,5357 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,96·8) = 0,01302 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 32/0,5487 = 58,32 W

Risposta

Q̇ = 58,32 W
2.Conduzione del calore

Risposta: Ts = 20,29 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·4) = 0,03247 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,17·4) = 0,3676 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,72·4) = 0,02604 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·4) = 0,01 K/W
ΣR = 0,4362 K/W

Perdita di calore

Q̇ = (22 − (-1))/0,4362 = 52,73 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 52,73·0,03247 = 20,29 °C

Risposta

Ts = 20,29 °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 6,468 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Differenze di temperatura agli estremi (controcorrente)

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 120 − 80 = 40 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 65 − 15 = 50 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (40 − 50)/ln(40/50) = 44,81 K

Area

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 80000/(300·0,92·44,81) = 6,468 m²

Risposta

A = 6,468 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: Tc,out = 93,91 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Combina il bilancio energetico e l’equazione di scambio

Con ΔT₁ = Ts − Tc,in e ΔT₂ = Ts − Tc,out, la differenza ΔT₁ − ΔT₂ è uguale all’aumento di temperatura dell’acqua, quindi l’aumento si semplifica.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1000·8/(2·4180) = 0,9569

Temperatura di uscita

ΔT₂ = ΔT₁·e−0,9569 = 120·0,3841 = 46,09 K
Tc,out = 140 − 46,09 = 93,91 °C

Risposta

Tc,out = 93,91 °C

Calore trasferito: Q̇ = 617,9 kW.

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