Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 50 mm di mattone e 25 mm di legno, con un’area di 15 m². Le facce esterne sono a 16 °C e 9 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.
L1 = 50 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 16 °CT3 = 9 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 200 mm calcestruzzo e 25 mm vetro separa una stanza a 21 °C dall’aria esterna a -3 °C. I coefficienti di convezione sono 7,7 W/(m²·K) all’interno e 30 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 6 m². Trova la temperatura Ts della superficie interna della parete.
L1 = 200 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 6 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -3 °C
Ts = °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore a fascio tubiero (un passaggio lato mantello, due passaggi lato tubi) deve trasferire 740 kW. Il fluido caldo si raffredda da 160 a 60 °C e il fluido freddo si riscalda da 15 a 45 °C. Il fattore di correzione della LMTD per questa configurazione è F = 0,88, e U = 1000 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Q̇ = 740 kWF = 0,88U = 1000 W/(m²·K)Th: 160 → 60 °CTc: 15 → 45 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
In uno scambiatore a doppio tubo controcorrente, olio caldo (0,8 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) scorre nel tubo interno e si raffredda da 150 a 80 °C. Acqua (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) nell’intercapedine anulare entra a 25 °C. Il tubo interno ha un diametro di 40 mm, e U = 150 W/(m²·K) è riferito a questo diametro. Trova la lunghezza del tubo L necessaria.
ṁh = 0,8 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 150 → 80 °Cṁc = 1 kg/sTc,in = 25 °CD = 40 mmU = 150 W/(m²·K)
L = m
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Ti = 13,75 °C
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,72·15) = 0,00463 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·15) = 0,009804 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 7/0,01443 = 485 W
Temperatura all’interfaccia
La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 16 − 485·0,00463 = 13,75 °C
Risposta
Ti = 13,75 °C
2.Conduzione del calore
Risposta: Ts = 11,61 °C
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·6) = 0,02165 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(1,4·6) = 0,02381 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,96·6) = 0,00434 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·6) = 0,005556 K/W
ΣR = 0,05535 K/W
Perdita di calore
Q̇ = (21 − (-3))/0,05535 = 433,6 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 433,6·0,02165 = 11,61 °C
Risposta
Ts = 11,61 °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 11,27 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Differenze di temperatura agli estremi (controcorrente)
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 160 − 45 = 115 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 15 = 45 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (115 − 45)/ln(115/45) = 74,61 K
Area
A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 740000/(1000·0,88·74,61) = 11,27 m²
Risposta
A = 11,27 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: L = 84,34 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua
Q̇ = 0,8·2,1·(150 − 80) = 117,6 kW
Tc,out = 25 + 117,6/(1·4,18) = 53,13 °C
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 150 − 53,13 = 96,87 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 80 − 25 = 55 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (96,87 − 55)/ln(96,87/55) = 73,97 K
Area e lunghezza
A = 117600/(150·73,97) = 10,6 m²
L = A/(πD) = 10,6/(π·0,04) = 84,34 m
Risposta
L = 84,34 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer