Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Cartongesso, k = 0,17100 mmLana minerale, k = 0,04100 mm25 °C1 °CQ̇ = ?

Una parete è composta da 100 mm di cartongesso e 100 mm di lana minerale, con un’area di 15 m². Le facce esterne sono a 25 °C e 1 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.

L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 25 °CT3 = 1 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Cartongesso, k = 0,1750 mmVetro, k = 0,9650 mmstanza 20 °Cesterno 3 °CTs​ = ?Q̇

Una parete di 50 mm cartongesso e 50 mm vetro separa una stanza a 20 °C dall’aria esterna a 3 °C. I coefficienti di convezione sono 6 W/(m²·K) all’interno e 30 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 12 m². Trova la temperatura Ts della superficie interna della parete.

L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 12 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 3 °C
Ts = °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT120 °C15 °C95 °CΔT₁ΔT₂vapore che condensa

In un condensatore, il vapore condensa a 120 °C costanti all’esterno dei tubi. L’acqua di raffreddamento (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) scorre nei tubi e si riscalda da 15 a 95 °C. Il coefficiente globale di scambio è 3500 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.

Ts = 120 °Cṁ = 0,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 15 → 95 °CU = 3500 W/(m²·K)
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT90 °C50 °C?20 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

In uno scambiatore a doppio tubo controcorrente, olio caldo (0,3 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) scorre nel tubo interno e si raffredda da 90 a 50 °C. Acqua (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) nell’intercapedine anulare entra a 20 °C. Il tubo interno ha un diametro di 40 mm, e U = 500 W/(m²·K) è riferito a questo diametro. Trova la lunghezza del tubo L necessaria.

ṁh = 0,3 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 90 → 50 °Cṁc = 0,5 kg/sTc,in = 20 °CD = 40 mmU = 500 W/(m²·K)
L = m

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Q̇ = 116,6 W

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·15) = 0,03922 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,04·15) = 0,1667 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 24/0,2059 = 116,6 W

Risposta

Q̇ = 116,6 W
2.Conduzione del calore

Risposta: Ts = 14,81 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·12) = 0,01389 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·12) = 0,02451 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,96·12) = 0,00434 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·12) = 0,002778 K/W
ΣR = 0,04552 K/W

Perdita di calore

Q̇ = (20 − (3))/0,04552 = 373,5 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 373,5·0,01389 = 14,81 °C

Risposta

Ts = 14,81 °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 0,857 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Potenza termica dal lato acqua

Q̇ = 0,5·4,18·(95 − 15) = 167,2 kW

Differenze di temperatura agli estremi

ΔT₁ = 120 − 15 = 105 K
ΔT₂ = 120 − 95 = 25 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (105 − 25)/ln(105/25) = 55,75 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 167200/(3500·55,75) = 0,857 m²

Risposta

A = 0,857 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: L = 9,448 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua

Q̇ = 0,3·2,1·(90 − 50) = 25,2 kW
Tc,out = 20 + 25,2/(0,5·4,18) = 32,06 °C

Differenze di temperatura agli estremi

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 90 − 32,06 = 57,94 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 20 = 30 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (57,94 − 30)/ln(57,94/30) = 42,45 K

Area e lunghezza

A = 25200/(500·42,45) = 1,187 m²
L = A/(πD) = 1,187/(π·0,04) = 9,448 m

Risposta

L = 9,448 m

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