Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 150 mm di mattone e 150 mm di calcestruzzo, con un’area di 4 m². Le facce esterne sono a 19 °C e 1 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.
L1 = 150 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 19 °CT3 = 1 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 250 mm cartongesso e 50 mm legno separa una stanza a 20 °C dall’aria esterna a 2 °C. I coefficienti di convezione sono 6 W/(m²·K) all’interno e 25 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 4 m². Trova la perdita di calore Q̇ attraverso la parete.
L1 = 250 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 4 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 2 °C
Q̇ = W
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore di calore equicorrente trasferisce 500 kW. La sua area di scambio è 20 m². Il fluido caldo si raffredda da 160 a 130 °C e il fluido freddo si riscalda da 20 a 90 °C. Trova il coefficiente globale di scambio U.
Q̇ = 500 kWA = 20 m²Th: 160 → 130 °CTc: 20 → 90 °C
U = W/(m²·K)
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
Il vapore condensa a 120 °C costanti all’esterno dei tubi di un condensatore con un’area di scambio di 1,5 m² e U = 1500 W/(m²·K). L’acqua di raffreddamento (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) entra nei tubi a 15 °C. Trova la temperatura di uscita dell’acqua Tc,out.
Ts = 120 °CA = 1,5 m²U = 1500 W/(m²·K)ṁ = 1,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °C
Tc,out = °C
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Ti = 7,113 °C
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,72·4) = 0,05208 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(1,4·4) = 0,02679 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 18/0,07887 = 228,2 W
Temperatura all’interfaccia
La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 19 − 228,2·0,05208 = 7,113 °C
Risposta
Ti = 7,113 °C
2.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 36,52 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·4) = 0,04167 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,17·4) = 0,3676 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·4) = 0,07353 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·4) = 0,01 K/W
ΣR = 0,4928 K/W
Perdita di calore
Q̇ = (20 − (2))/0,4928 = 36,52 W
Risposta
Q̇ = 36,52 W
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: U = 313,2 W/(m²·K)
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Differenze di temperatura agli estremi
In equicorrente entrambi gli ingressi sono allo stesso estremo, ed entrambe le uscite all’altro.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 160 − 20 = 140 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 130 − 90 = 40 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (140 − 40)/ln(140/40) = 79,82 K
Coefficiente globale
U = Q̇/(A·ΔTlm) = 500000/(20·79,82) = 313,2 W/(m²·K)
Risposta
U = 313,2 W/(m²·K)
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: Tc,out = 46,66 °C
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Combina il bilancio energetico e l’equazione di scambio
Con ΔT₁ = Ts − Tc,in e ΔT₂ = Ts − Tc,out, la differenza ΔT₁ − ΔT₂ è uguale all’aumento di temperatura dell’acqua, quindi l’aumento si semplifica.
ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1500·1,5/(1,5·4180) = 0,3589
Temperatura di uscita
ΔT₂ = ΔT₁·e−0,3589 = 105·0,6985 = 73,34 K
Tc,out = 120 − 73,34 = 46,66 °C
Risposta
Tc,out = 46,66 °C
Calore trasferito: Q̇ = 198,5 kW.
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