Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Lana minerale, k = 0,04100 mmPolistirene espanso, k = 0,03525 mm21 °C-8 °CQ̇ = ?

Una parete è composta da 100 mm di lana minerale e 25 mm di polistirene espanso, con un’area di 10 m². Le facce esterne sono a 21 °C e -8 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.

L1 = 100 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 21 °CT3 = -8 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Lana minerale, k = 0,04250 mmLegno, k = 0,1775 mmstanza 20 °Cesterno 3 °CQ̇ = ?

Una parete di 250 mm lana minerale e 75 mm legno separa una stanza a 20 °C dall’aria esterna a 3 °C. I coefficienti di convezione sono 7,7 W/(m²·K) all’interno e 30 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 4 m². Trova la perdita di calore Q̇ attraverso la parete.

L1 = 250 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 4 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 3 °C
Q̇ = W
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT180 °C115 °C115 °C25 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

Uno scambiatore controcorrente trasferisce 80 kW. Il fluido caldo si raffredda da 180 a 115 °C e il fluido freddo si riscalda da 25 a 115 °C. Il coefficiente globale di scambio è 1500 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.

Q̇ = 80 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 180 → 115 °CTc: 25 → 115 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT120 °C10 °C?ΔT₁ΔT₂vapore che condensa

Il vapore condensa a 120 °C costanti all’esterno dei tubi di un condensatore con un’area di scambio di 8 m² e U = 1000 W/(m²·K). L’acqua di raffreddamento (3 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) entra nei tubi a 10 °C. Trova la temperatura di uscita dell’acqua Tc,out.

Ts = 120 °CA = 8 m²U = 1000 W/(m²·K)ṁ = 3 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °C
Tc,out = °C

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Q̇ = 90,22 W

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,04·10) = 0,25 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,035·10) = 0,07143 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 29/0,3214 = 90,22 W

Risposta

Q̇ = 90,22 W
2.Conduzione del calore

Risposta: Q̇ = 9,921 W

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·4) = 0,03247 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,04·4) = 1,563 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·4) = 0,1103 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·4) = 0,008333 K/W
ΣR = 1,714 K/W

Perdita di calore

Q̇ = (20 − (3))/1,714 = 9,921 W

Risposta

Q̇ = 9,921 W
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 0,6942 m²

Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.

Differenze di temperatura agli estremi

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 180 − 115 = 65 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 115 − 25 = 90 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (65 − 90)/ln(65/90) = 76,82 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 80000/(1500·76,82) = 0,6942 m²

Risposta

A = 0,6942 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: Tc,out = 61,88 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Combina il bilancio energetico e l’equazione di scambio

Con ΔT₁ = Ts − Tc,in e ΔT₂ = Ts − Tc,out, la differenza ΔT₁ − ΔT₂ è uguale all’aumento di temperatura dell’acqua, quindi l’aumento si semplifica.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1000·8/(3·4180) = 0,638

Temperatura di uscita

ΔT₂ = ΔT₁·e−0,638 = 110·0,5284 = 58,12 K
Tc,out = 120 − 58,12 = 61,88 °C

Risposta

Tc,out = 61,88 °C

Calore trasferito: Q̇ = 650,6 kW.

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