Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 250 mm di lana minerale e 75 mm di polistirene espanso, con un’area di 6 m². Le facce esterne sono a 17 °C e -7 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.
L1 = 250 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 17 °CT3 = -7 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 250 mm polistirene espanso e 50 mm cartongesso separa una stanza a 22 °C dall’aria esterna a -5 °C. I coefficienti di convezione sono 10 W/(m²·K) all’interno e 20 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 15 m². Trova la perdita di calore Q̇ attraverso la parete.
L1 = 250 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 15 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -5 °C
Q̇ = W
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore controcorrente trasferisce 100 kW. Il fluido caldo si raffredda da 85 a 35 °C e il fluido freddo si riscalda da 10 a 70 °C. Il coefficiente globale di scambio è 1500 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Q̇ = 100 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 85 → 35 °CTc: 10 → 70 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
Olio caldo (0,5 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) si raffredda da 135 a 35 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 2 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 15 °C. Con U = 200 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.
ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 135 → 35 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 17,16 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,04·6) = 1,042 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,035·6) = 0,3571 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 24/1,399 = 17,16 W
Risposta
Q̇ = 17,16 W
2.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 53,38 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·15) = 0,006667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,035·15) = 0,4762 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·15) = 0,01961 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·15) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,5058 K/W
Perdita di calore
Q̇ = (22 − (-5))/0,5058 = 53,38 W
Risposta
Q̇ = 53,38 W
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 3,406 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 85 − 70 = 15 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 35 − 10 = 25 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (15 − 25)/ln(15/25) = 19,58 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 100000/(1500·19,58) = 3,406 m²
Risposta
A = 3,406 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 12,19 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,5·100 = 125 kW
Tc,out = 15 + 125/(2·4,18) = 29,95 °C
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 135 − 29,95 = 105 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 35 − 15 = 20 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (105 − 20)/ln(105/20) = 51,27 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 125000/(200·51,27) = 12,19 m²
Risposta
A = 12,19 m²
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