Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 100 mm di cartongesso e 50 mm di mattone, con un’area di 10 m². Le facce esterne sono a 18 °C e -7 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.
L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 18 °CT3 = -7 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 100 mm legno e 100 mm mattone separa una stanza a 22 °C dall’aria esterna a -9 °C. I coefficienti di convezione sono 7,7 W/(m²·K) all’interno e 20 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 4 m². Trova la temperatura Ts della superficie interna della parete.
L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 4 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -9 °C
Ts = °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore a fascio tubiero (un passaggio lato mantello, due passaggi lato tubi) deve trasferire 370 kW. Il fluido caldo si raffredda da 80 a 60 °C e il fluido freddo si riscalda da 25 a 55 °C. Il fattore di correzione della LMTD per questa configurazione è F = 0,85, e U = 800 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Q̇ = 370 kWF = 0,85U = 800 W/(m²·K)Th: 80 → 60 °CTc: 25 → 55 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
In uno scambiatore a doppio tubo equicorrente, olio caldo (0,5 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) scorre nel tubo interno e si raffredda da 140 a 85 °C. Acqua (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) nell’intercapedine anulare entra a 10 °C. Il tubo interno ha un diametro di 40 mm, e U = 150 W/(m²·K) è riferito a questo diametro. Trova la lunghezza del tubo L necessaria.
ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 140 → 85 °Cṁc = 0,5 kg/sTc,in = 10 °CD = 40 mmU = 150 W/(m²·K)
L = m
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 380,1 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·10) = 0,05882 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,72·10) = 0,006944 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 25/0,06577 = 380,1 W
Risposta
Q̇ = 380,1 W
2.Conduzione del calore
Risposta: Ts = 17,56 °C
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·4) = 0,03247 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·4) = 0,1471 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,72·4) = 0,03472 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·4) = 0,0125 K/W
ΣR = 0,2267 K/W
Perdita di calore
Q̇ = (22 − (-9))/0,2267 = 136,7 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 136,7·0,03247 = 17,56 °C
Risposta
Ts = 17,56 °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 18,31 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Differenze di temperatura agli estremi (controcorrente)
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 80 − 55 = 25 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 25 = 35 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (25 − 35)/ln(25/35) = 29,72 K
Area
A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 370000/(800·0,85·29,72) = 18,31 m²
Risposta
A = 18,31 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: L = 41,98 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua
Q̇ = 0,5·2,3·(140 − 85) = 63,25 kW
Tc,out = 10 + 63,25/(0,5·4,18) = 40,26 °C
Differenze di temperatura agli estremi
In equicorrente entrambi gli ingressi sono allo stesso estremo, ed entrambe le uscite all’altro.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 140 − 10 = 130 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 85 − 40,26 = 44,74 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (130 − 44,74)/ln(130/44,74) = 79,93 K
Area e lunghezza
A = 63250/(150·79,93) = 5,276 m²
L = A/(πD) = 5,276/(π·0,04) = 41,98 m
Risposta
L = 41,98 m
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