Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi eserciziTorna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Polistirene espanso, k = 0,03550 mmCalcestruzzo, k = 1,4150 mm17 °C-3 °CQ̇ = ?

Una parete è composta da 50 mm di polistirene espanso e 150 mm di calcestruzzo, con un’area di 20 m². Le facce esterne sono a 17 °C e -3 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.

L1 = 50 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 17 °CT3 = -3 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Mattone, k = 0,72250 mmPolistirene espanso, k = 0,03550 mmstanza 22 °Cesterno 5 °CTs​ = ?Q̇

Una parete di 250 mm mattone e 50 mm polistirene espanso separa una stanza a 22 °C dall’aria esterna a 5 °C. I coefficienti di convezione sono 8 W/(m²·K) all’interno e 20 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 12 m². Trova la temperatura Ts della superficie interna della parete.

L1 = 250 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 12 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 5 °C
Ts = °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT115 °C100 °C55 °C25 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

Uno scambiatore di calore controcorrente trasferisce 190 kW. La sua area di scambio è 3 m². Il fluido caldo si raffredda da 115 a 100 °C e il fluido freddo si riscalda da 25 a 55 °C. Trova il coefficiente globale di scambio U.

Q̇ = 190 kWA = 3 m²Th: 115 → 100 °CTc: 25 → 55 °C
U = W/(m²·K)
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT110 °C15 °C?ΔT₁ΔT₂vapore che condensa

Il vapore condensa a 110 °C costanti all’esterno dei tubi di un condensatore con un’area di scambio di 3 m² e U = 1500 W/(m²·K). L’acqua di raffreddamento (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) entra nei tubi a 15 °C. Trova la temperatura di uscita dell’acqua Tc,out.

Ts = 110 °CA = 3 m²U = 1500 W/(m²·K)ṁ = 0,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °C
Tc,out = °C

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Q̇ = 260,5 W

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,035·20) = 0,07143 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(1,4·20) = 0,005357 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 20/0,07679 = 260,5 W

Risposta

Q̇ = 260,5 W
2.Conduzione del calore

Risposta: Ts = 20,91 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·12) = 0,01042 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,72·12) = 0,02894 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,035·12) = 0,119 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·12) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,1626 K/W

Perdita di calore

Q̇ = (22 − (5))/0,1626 = 104,6 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 104,6·0,01042 = 20,91 °C

Risposta

Ts = 20,91 °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: U = 942,2 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Differenze di temperatura agli estremi

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 115 − 55 = 60 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 100 − 25 = 75 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (60 − 75)/ln(60/75) = 67,22 K

Coefficiente globale

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 190000/(3·67,22) = 942,2 W/(m²·K)

Risposta

U = 942,2 W/(m²·K)
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: Tc,out = 98,97 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Combina il bilancio energetico e l’equazione di scambio

Con ΔT₁ = Ts − Tc,in e ΔT₂ = Ts − Tc,out, la differenza ΔT₁ − ΔT₂ è uguale all’aumento di temperatura dell’acqua, quindi l’aumento si semplifica.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1500·3/(0,5·4180) = 2,153

Temperatura di uscita

ΔT₂ = ΔT₁·e−2,153 = 95·0,1161 = 11,03 K
Tc,out = 110 − 11,03 = 98,97 °C

Risposta

Tc,out = 98,97 °C

Calore trasferito: Q̇ = 175,5 kW.

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer