Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Polistirene espanso, k = 0,03550 mmCartongesso, k = 0,17100 mm24 °C-3 °CQ̇ = ?

Una parete è composta da 50 mm di polistirene espanso e 100 mm di cartongesso, con un’area di 15 m². Le facce esterne sono a 24 °C e -3 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.

L1 = 50 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 24 °CT3 = -3 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Cartongesso, k = 0,17100 mmCalcestruzzo, k = 1,450 mmstanza 22 °Cesterno 2 °CTs​ = ?Q̇

Una parete di 100 mm cartongesso e 50 mm calcestruzzo separa una stanza a 22 °C dall’aria esterna a 2 °C. I coefficienti di convezione sono 6 W/(m²·K) all’interno e 20 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 10 m². Trova la temperatura Ts della superficie interna della parete.

L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 10 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 2 °C
Ts = °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT135 °C65 °C125 °C10 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

Uno scambiatore a fascio tubiero (un passaggio lato mantello, due passaggi lato tubi) deve trasferire 310 kW. Il fluido caldo si raffredda da 135 a 65 °C e il fluido freddo si riscalda da 10 a 125 °C. Il fattore di correzione della LMTD per questa configurazione è F = 0,9, e U = 200 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.

Q̇ = 310 kWF = 0,9U = 200 W/(m²·K)Th: 135 → 65 °CTc: 10 → 125 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT110 °C30 °C54,02 °C10 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

Olio caldo (1 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) si raffredda da 110 a 30 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 1 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 10 °C. Con U = 1000 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.

ṁh = 1 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 110 → 30 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Q̇ = 200,8 W

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,035·15) = 0,09524 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·15) = 0,03922 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 27/0,1345 = 200,8 W

Risposta

Q̇ = 200,8 W
2.Conduzione del calore

Risposta: Ts = 18,03 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·10) = 0,01667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·10) = 0,05882 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(1,4·10) = 0,003571 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·10) = 0,005 K/W
ΣR = 0,08406 K/W

Perdita di calore

Q̇ = (22 − (2))/0,08406 = 237,9 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 237,9·0,01667 = 18,03 °C

Risposta

Ts = 18,03 °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 65,24 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Differenze di temperatura agli estremi (controcorrente)

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 135 − 125 = 10 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 65 − 10 = 55 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (10 − 55)/ln(10/55) = 26,4 K

Area

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 310000/(200·0,9·26,4) = 65,24 m²

Risposta

A = 65,24 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 5,264 m²

Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.

Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,3·80 = 184 kW
Tc,out = 10 + 184/(1·4,18) = 54,02 °C

Differenze di temperatura agli estremi

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 110 − 54,02 = 55,98 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 30 − 10 = 20 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (55,98 − 20)/ln(55,98/20) = 34,96 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 184000/(1000·34,96) = 5,264 m²

Risposta

A = 5,264 m²

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