Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi eserciziTorna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Mattone, k = 0,72250 mmLegno, k = 0,17150 mm17 °C9 °CQ̇ = ?

Una parete è composta da 250 mm di mattone e 150 mm di legno, con un’area di 6 m². Le facce esterne sono a 17 °C e 9 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.

L1 = 250 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 17 °CT3 = 9 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Lana minerale, k = 0,0450 mmPolistirene espanso, k = 0,035100 mmstanza 22 °Cesterno -12 °CQ̇ = ?

Una parete di 50 mm lana minerale e 100 mm polistirene espanso separa una stanza a 22 °C dall’aria esterna a -12 °C. I coefficienti di convezione sono 7,7 W/(m²·K) all’interno e 30 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 8 m². Trova la perdita di calore Q̇ attraverso la parete.

L1 = 50 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 8 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -12 °C
Q̇ = W
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT155 °C120 °C25 °C90 °CΔT₁ΔT₂equicorrente

Uno scambiatore equicorrente trasferisce 320 kW. Il fluido caldo si raffredda da 155 a 120 °C e il fluido freddo si riscalda da 25 a 90 °C. Il coefficiente globale di scambio è 200 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.

Q̇ = 320 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 155 → 120 °CTc: 25 → 90 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT105 °C15 °C?ΔT₁ΔT₂vapore che condensa

Il vapore condensa a 105 °C costanti all’esterno dei tubi di un condensatore con un’area di scambio di 2 m² e U = 2000 W/(m²·K). L’acqua di raffreddamento (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) entra nei tubi a 15 °C. Trova la temperatura di uscita dell’acqua Tc,out.

Ts = 105 °CA = 2 m²U = 2000 W/(m²·K)ṁ = 1,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °C
Tc,out = °C

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Q̇ = 39,04 W

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,72·6) = 0,05787 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·6) = 0,1471 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 8/0,2049 = 39,04 W

Risposta

Q̇ = 39,04 W
2.Conduzione del calore

Risposta: Q̇ = 63,7 W

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·8) = 0,01623 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,04·8) = 0,1563 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,035·8) = 0,3571 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·8) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,5338 K/W

Perdita di calore

Q̇ = (22 − (-12))/0,5338 = 63,7 W

Risposta

Q̇ = 63,7 W
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 23,46 m²

Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.

Differenze di temperatura agli estremi

In equicorrente entrambi gli ingressi sono allo stesso estremo, ed entrambe le uscite all’altro.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 155 − 25 = 130 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 120 − 90 = 30 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (130 − 30)/ln(130/30) = 68,2 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 320000/(200·68,2) = 23,46 m²

Risposta

A = 23,46 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: Tc,out = 57,45 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Combina il bilancio energetico e l’equazione di scambio

Con ΔT₁ = Ts − Tc,in e ΔT₂ = Ts − Tc,out, la differenza ΔT₁ − ΔT₂ è uguale all’aumento di temperatura dell’acqua, quindi l’aumento si semplifica.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 2000·2/(1,5·4180) = 0,638

Temperatura di uscita

ΔT₂ = ΔT₁·e−0,638 = 90·0,5284 = 47,55 K
Tc,out = 105 − 47,55 = 57,45 °C

Risposta

Tc,out = 57,45 °C

Calore trasferito: Q̇ = 266,1 kW.

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer