Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Mattone, k = 0,72200 mmLegno, k = 0,1725 mm16 °C-8 °CTi​ = ?Q̇

Una parete è composta da 200 mm di mattone e 25 mm di legno, con un’area di 4 m². Le facce esterne sono a 16 °C e -8 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.

L1 = 200 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 16 °CT3 = -8 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Cartongesso, k = 0,17150 mmMattone, k = 0,7250 mmstanza 20 °Cesterno -7 °CQ̇

Una parete di 150 mm cartongesso e 50 mm mattone separa una stanza a 20 °C dall’aria esterna a -7 °C. I coefficienti di convezione sono 8 W/(m²·K) all’interno e 30 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 8 m². Trova la trasmittanza termica U della parete.

L1 = 150 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 8 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -7 °C
U = W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT135 °C60 °C35 °C25 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

Uno scambiatore controcorrente trasferisce 150 kW. Il fluido caldo si raffredda da 135 a 60 °C e il fluido freddo si riscalda da 25 a 35 °C. Il coefficiente globale di scambio è 1000 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.

Q̇ = 150 kWU = 1000 W/(m²·K)Th: 135 → 60 °CTc: 25 → 35 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT105 °C30 °C?ΔT₁ΔT₂vapore che condensa

Il vapore condensa a 105 °C costanti all’esterno dei tubi di un condensatore con un’area di scambio di 1,5 m² e U = 1500 W/(m²·K). L’acqua di raffreddamento (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) entra nei tubi a 30 °C. Trova la temperatura di uscita dell’acqua Tc,out.

Ts = 105 °CA = 1,5 m²U = 1500 W/(m²·K)ṁ = 1,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °C
Tc,out = °C

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Ti = 0,3077 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,72·4) = 0,06944 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·4) = 0,03676 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 24/0,1062 = 226 W

Temperatura all’interfaccia

La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 16 − 226·0,06944 = 0,3077 °C

Risposta

Ti = 0,3077 °C
2.Conduzione del calore

Risposta: U = 0,9008 W/(m²·K)

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·8) = 0,01563 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,17·8) = 0,1103 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,72·8) = 0,008681 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·8) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,1388 K/W

Coefficiente globale

U = 1/(A·ΣR) = 1/(8·0,1388) = 0,9008 W/(m²·K)

Risposta

U = 0,9008 W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 2,423 m²

Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.

Differenze di temperatura agli estremi

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 135 − 35 = 100 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 25 = 35 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (100 − 35)/ln(100/35) = 61,92 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 150000/(1000·61,92) = 2,423 m²

Risposta

A = 2,423 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: Tc,out = 52,61 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Combina il bilancio energetico e l’equazione di scambio

Con ΔT₁ = Ts − Tc,in e ΔT₂ = Ts − Tc,out, la differenza ΔT₁ − ΔT₂ è uguale all’aumento di temperatura dell’acqua, quindi l’aumento si semplifica.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1500·1,5/(1,5·4180) = 0,3589

Temperatura di uscita

ΔT₂ = ΔT₁·e−0,3589 = 75·0,6985 = 52,39 K
Tc,out = 105 − 52,39 = 52,61 °C

Risposta

Tc,out = 52,61 °C

Calore trasferito: Q̇ = 141,8 kW.

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