Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 250 mm di cartongesso e 25 mm di legno, con un’area di 15 m². Le facce esterne sono a 21 °C e -7 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.
L1 = 250 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 21 °CT3 = -7 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 50 mm legno e 75 mm polistirene espanso separa una stanza a 21 °C dall’aria esterna a -15 °C. I coefficienti di convezione sono 8 W/(m²·K) all’interno e 20 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 20 m². Trova la trasmittanza termica U della parete.
L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 20 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -15 °C
U = W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore equicorrente trasferisce 70 kW. Il fluido caldo si raffredda da 140 a 125 °C e il fluido freddo si riscalda da 15 a 60 °C. Il coefficiente globale di scambio è 500 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Q̇ = 70 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 140 → 125 °CTc: 15 → 60 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
Olio caldo (1,5 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) si raffredda da 90 a 60 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 1 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 15 °C. Con U = 1500 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.
ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 90 → 60 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Ti = −4,455 °C
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,17·15) = 0,09804 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·15) = 0,009804 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 28/0,1078 = 259,6 W
Temperatura all’interfaccia
La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 21 − 259,6·0,09804 = −4,455 °C
Risposta
Ti = −4,455 °C
2.Conduzione del calore
Risposta: U = 0,3829 W/(m²·K)
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·20) = 0,00625 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·20) = 0,01471 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,035·20) = 0,1071 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·20) = 0,0025 K/W
ΣR = 0,1306 K/W
Coefficiente globale
U = 1/(A·ΣR) = 1/(20·0,1306) = 0,3829 W/(m²·K)
Risposta
U = 0,3829 W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 1,526 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Differenze di temperatura agli estremi
In equicorrente entrambi gli ingressi sono allo stesso estremo, ed entrambe le uscite all’altro.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 140 − 15 = 125 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 125 − 60 = 65 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (125 − 65)/ln(125/65) = 91,75 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 70000/(500·91,75) = 1,526 m²
Risposta
A = 1,526 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 1,296 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,1·30 = 94,5 kW
Tc,out = 15 + 94,5/(1·4,18) = 37,61 °C
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 90 − 37,61 = 52,39 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 15 = 45 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (52,39 − 45)/ln(52,39/45) = 48,6 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 94500/(1500·48,6) = 1,296 m²
Risposta
A = 1,296 m²
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