Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 100 mm di mattone e 50 mm di vetro, con un’area di 6 m². Le facce esterne sono a 22 °C e -5 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.
L1 = 100 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 22 °CT3 = -5 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 150 mm cartongesso e 75 mm mattone separa una stanza a 20 °C dall’aria esterna a 4 °C. I coefficienti di convezione sono 7,7 W/(m²·K) all’interno e 25 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 12 m². Trova la perdita di calore Q̇ attraverso la parete.
L1 = 150 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 12 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 4 °C
Q̇ = W
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore controcorrente trasferisce 350 kW. Il fluido caldo si raffredda da 95 a 25 °C e il fluido freddo si riscalda da 10 a 35 °C. Il coefficiente globale di scambio è 500 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Q̇ = 350 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 95 → 25 °CTc: 10 → 35 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
In uno scambiatore a doppio tubo equicorrente, olio caldo (0,8 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) scorre nel tubo interno e si raffredda da 105 a 70 °C. Acqua (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) nell’intercapedine anulare entra a 25 °C. Il tubo interno ha un diametro di 32 mm, e U = 250 W/(m²·K) è riferito a questo diametro. Trova la lunghezza del tubo L necessaria.
ṁh = 0,8 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 105 → 70 °Cṁc = 1 kg/sTc,in = 25 °CD = 32 mmU = 250 W/(m²·K)
L = m
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Ti = 2,364 °C
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,72·6) = 0,02315 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,96·6) = 0,008681 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 27/0,03183 = 848,3 W
Temperatura all’interfaccia
La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 22 − 848,3·0,02315 = 2,364 °C
Risposta
Ti = 2,364 °C
2.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 166 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·12) = 0,01082 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,17·12) = 0,07353 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,72·12) = 0,008681 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·12) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,09637 K/W
Perdita di calore
Q̇ = (20 − (4))/0,09637 = 166 W
Risposta
Q̇ = 166 W
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 21,56 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 95 − 35 = 60 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 25 − 10 = 15 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (60 − 15)/ln(60/15) = 32,46 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 350000/(500·32,46) = 21,56 m²
Risposta
A = 21,56 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: L = 50,55 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua
Q̇ = 0,8·2,3·(105 − 70) = 64,4 kW
Tc,out = 25 + 64,4/(1·4,18) = 40,41 °C
Differenze di temperatura agli estremi
In equicorrente entrambi gli ingressi sono allo stesso estremo, ed entrambe le uscite all’altro.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 105 − 25 = 80 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 70 − 40,41 = 29,59 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (80 − 29,59)/ln(80/29,59) = 50,69 K
Area e lunghezza
A = 64400/(250·50,69) = 5,082 m²
L = A/(πD) = 5,082/(π·0,032) = 50,55 m
Risposta
L = 50,55 m
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