Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Vetro, k = 0,9650 mmPolistirene espanso, k = 0,03575 mm19 °C-8 °CTi​ = ?Q̇

Una parete è composta da 50 mm di vetro e 75 mm di polistirene espanso, con un’area di 6 m². Le facce esterne sono a 19 °C e -8 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.

L1 = 50 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 19 °CT3 = -8 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Calcestruzzo, k = 1,4200 mmPolistirene espanso, k = 0,03575 mmstanza 21 °Cesterno -7 °CQ̇

Una parete di 200 mm calcestruzzo e 75 mm polistirene espanso separa una stanza a 21 °C dall’aria esterna a -7 °C. I coefficienti di convezione sono 10 W/(m²·K) all’interno e 25 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 6 m². Trova la trasmittanza termica U della parete.

L1 = 200 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 6 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -7 °C
U = W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT90 °C70 °C25 °C40 °CΔT₁ΔT₂equicorrente

Uno scambiatore equicorrente trasferisce 440 kW. Il fluido caldo si raffredda da 90 a 70 °C e il fluido freddo si riscalda da 25 a 40 °C. Il coefficiente globale di scambio è 800 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.

Q̇ = 440 kWU = 800 W/(m²·K)Th: 90 → 70 °CTc: 25 → 40 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT95 °C35 °C20,05 °C10 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

Olio caldo (0,5 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) si raffredda da 95 a 35 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 1,5 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 10 °C. Con U = 200 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 95 → 35 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Ti = 18,36 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,96·6) = 0,008681 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,035·6) = 0,3571 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 27/0,3658 = 73,81 W

Temperatura all’interfaccia

La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 19 − 73,81·0,008681 = 18,36 °C

Risposta

Ti = 18,36 °C
2.Conduzione del calore

Risposta: U = 0,4122 W/(m²·K)

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·6) = 0,01667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(1,4·6) = 0,02381 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,035·6) = 0,3571 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·6) = 0,006667 K/W
ΣR = 0,4043 K/W

Coefficiente globale

U = 1/(A·ΣR) = 1/(6·0,4043) = 0,4122 W/(m²·K)

Risposta

U = 0,4122 W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 12,15 m²

Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.

Differenze di temperatura agli estremi

In equicorrente entrambi gli ingressi sono allo stesso estremo, ed entrambe le uscite all’altro.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 90 − 25 = 65 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 70 − 40 = 30 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (65 − 30)/ln(65/30) = 45,27 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 440000/(800·45,27) = 12,15 m²

Risposta

A = 12,15 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 6,924 m²

Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.

Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,1·60 = 63 kW
Tc,out = 10 + 63/(1,5·4,18) = 20,05 °C

Differenze di temperatura agli estremi

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 95 − 20,05 = 74,95 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 35 − 10 = 25 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (74,95 − 25)/ln(74,95/25) = 45,49 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 63000/(200·45,49) = 6,924 m²

Risposta

A = 6,924 m²

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