Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 50 mm di lana minerale e 50 mm di mattone, con un’area di 15 m². Le facce esterne sono a 19 °C e -12 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.
L1 = 50 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 19 °CT3 = -12 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 250 mm calcestruzzo e 25 mm polistirene espanso separa una stanza a 21 °C dall’aria esterna a -9 °C. I coefficienti di convezione sono 10 W/(m²·K) all’interno e 25 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 20 m². Trova la temperatura Ts della superficie interna della parete.
L1 = 250 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 20 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -9 °C
Ts = °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore controcorrente trasferisce 70 kW. Il fluido caldo si raffredda da 115 a 90 °C e il fluido freddo si riscalda da 10 a 100 °C. Il coefficiente globale di scambio è 1500 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Q̇ = 70 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 115 → 90 °CTc: 10 → 100 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
In uno scambiatore controcorrente entrambe le correnti hanno la stessa capacità termica oraria, ṁ·cp = 3 kW/K. La corrente calda entra a 100 °C e quella fredda a 30 °C. Lo scambiatore ha A = 5 m² e U = 500 W/(m²·K). Trova la temperatura di uscita della corrente calda Th,out.
Ch = Cc = 3 kW/KTh,in = 100 °CTc,in = 30 °CA = 5 m²U = 500 W/(m²·K)
Th,out = °C
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 352,4 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,04·15) = 0,08333 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,72·15) = 0,00463 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 31/0,08796 = 352,4 W
Risposta
Q̇ = 352,4 W
2.Conduzione del calore
Risposta: Ts = 18,1 °C
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·20) = 0,005 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(1,4·20) = 0,008929 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,035·20) = 0,03571 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·20) = 0,002 K/W
ΣR = 0,05164 K/W
Perdita di calore
Q̇ = (21 − (-9))/0,05164 = 580,9 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 580,9·0,005 = 18,1 °C
Risposta
Ts = 18,1 °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 1,202 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 115 − 100 = 15 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 90 − 10 = 80 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (15 − 80)/ln(15/80) = 38,83 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 70000/(1500·38,83) = 1,202 m²
Risposta
A = 1,202 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: Th,out = 68,18 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Differenza di temperatura costante
L’uscita fredda si trova di fronte all’ingresso caldo: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), quindi ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.
ΔTlm = Th,out − Tc,in
Bilancio energetico uguale all’equazione di scambio
3·(100 − Th,out) = 2,5·(Th,out − 30)
Th,out = (3·100 + 2,5·30)/(3 + 2,5) = 68,18 °C
Risposta
Th,out = 68,18 °C
Calore trasferito: Q̇ = 95,45 kW; la corrente fredda esce a 61,82 °C.
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