Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Mattone, k = 0,7250 mmCalcestruzzo, k = 1,425 mm22 °C4 °CQ̇ = ?

Una parete è composta da 50 mm di mattone e 25 mm di calcestruzzo, con un’area di 8 m². Le facce esterne sono a 22 °C e 4 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.

L1 = 50 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 22 °CT3 = 4 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Polistirene espanso, k = 0,035200 mmVetro, k = 0,9675 mmstanza 20 °Cesterno -5 °CTs​ = ?Q̇

Una parete di 200 mm polistirene espanso e 75 mm vetro separa una stanza a 20 °C dall’aria esterna a -5 °C. I coefficienti di convezione sono 6 W/(m²·K) all’interno e 20 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 15 m². Trova la temperatura Ts della superficie interna della parete.

L1 = 200 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 15 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -5 °C
Ts = °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT125 °C80 °C70 °C10 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

Uno scambiatore a fascio tubiero (un passaggio lato mantello, due passaggi lato tubi) deve trasferire 360 kW. Il fluido caldo si raffredda da 125 a 80 °C e il fluido freddo si riscalda da 10 a 70 °C. Il fattore di correzione della LMTD per questa configurazione è F = 0,9, e U = 1000 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.

Q̇ = 360 kWF = 0,9U = 1000 W/(m²·K)Th: 125 → 80 °CTc: 10 → 70 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT175 °C65 °C41,93 °C20 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

Olio caldo (0,5 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) si raffredda da 175 a 65 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 1,5 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 20 °C. Con U = 1500 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 175 → 65 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Q̇ = 1649 W

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,72·8) = 0,008681 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(1,4·8) = 0,002232 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 18/0,01091 = 1649 W

Risposta

Q̇ = 1649 W
2.Conduzione del calore

Risposta: Ts = 19,31 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·15) = 0,01111 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,035·15) = 0,381 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,96·15) = 0,005208 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·15) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,4006 K/W

Perdita di calore

Q̇ = (20 − (-5))/0,4006 = 62,41 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 62,41·0,01111 = 19,31 °C

Risposta

Ts = 19,31 °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 6,431 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Differenze di temperatura agli estremi (controcorrente)

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 125 − 70 = 55 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 80 − 10 = 70 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (55 − 70)/ln(55/70) = 62,2 K

Area

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 360000/(1000·0,9·62,2) = 6,431 m²

Risposta

A = 6,431 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 1,128 m²

Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.

Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,5·110 = 137,5 kW
Tc,out = 20 + 137,5/(1,5·4,18) = 41,93 °C

Differenze di temperatura agli estremi

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 175 − 41,93 = 133,1 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 65 − 20 = 45 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (133,1 − 45)/ln(133,1/45) = 81,23 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 137500/(1500·81,23) = 1,128 m²

Risposta

A = 1,128 m²

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