Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Legno, k = 0,17100 mmMattone, k = 0,7225 mm24 °C-8 °CTi​ = ?Q̇

Una parete è composta da 100 mm di legno e 25 mm di mattone, con un’area di 10 m². Le facce esterne sono a 24 °C e -8 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.

L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 24 °CT3 = -8 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Polistirene espanso, k = 0,035200 mmCalcestruzzo, k = 1,425 mmstanza 22 °Cesterno -14 °CQ̇ = ?

Una parete di 200 mm polistirene espanso e 25 mm calcestruzzo separa una stanza a 22 °C dall’aria esterna a -14 °C. I coefficienti di convezione sono 10 W/(m²·K) all’interno e 30 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 6 m². Trova la perdita di calore Q̇ attraverso la parete.

L1 = 200 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 6 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -14 °C
Q̇ = W
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT115 °C70 °C70 °C20 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

Uno scambiatore di calore controcorrente trasferisce 140 kW. La sua area di scambio è 1 m². Il fluido caldo si raffredda da 115 a 70 °C e il fluido freddo si riscalda da 20 a 70 °C. Trova il coefficiente globale di scambio U.

Q̇ = 140 kWA = 1 m²Th: 115 → 70 °CTc: 20 → 70 °C
U = W/(m²·K)
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT160 °C100 °C65,19 °C25 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

Olio caldo (2 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) si raffredda da 160 a 100 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 1,5 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 25 °C. Con U = 500 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.

ṁh = 2 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 160 → 100 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 500 W/(m²·K)
A = m²

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Ti = −6,216 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·10) = 0,05882 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,72·10) = 0,003472 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 32/0,0623 = 513,7 W

Temperatura all’interfaccia

La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 24 − 513,7·0,05882 = −6,216 °C

Risposta

Ti = −6,216 °C
2.Conduzione del calore

Risposta: Q̇ = 36,83 W

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·6) = 0,01667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,035·6) = 0,9524 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(1,4·6) = 0,002976 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·6) = 0,005556 K/W
ΣR = 0,9776 K/W

Perdita di calore

Q̇ = (22 − (-14))/0,9776 = 36,83 W

Risposta

Q̇ = 36,83 W
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: U = 2950 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Differenze di temperatura agli estremi

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 115 − 70 = 45 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 70 − 20 = 50 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (45 − 50)/ln(45/50) = 47,46 K

Coefficiente globale

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 140000/(1·47,46) = 2950 W/(m²·K)

Risposta

U = 2950 W/(m²·K)
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 5,963 m²

Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.

Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2,1·60 = 252 kW
Tc,out = 25 + 252/(1,5·4,18) = 65,19 °C

Differenze di temperatura agli estremi

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 160 − 65,19 = 94,81 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 100 − 25 = 75 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (94,81 − 75)/ln(94,81/75) = 84,52 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 252000/(500·84,52) = 5,963 m²

Risposta

A = 5,963 m²

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