Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 50 mm di calcestruzzo e 75 mm di vetro, con un’area di 8 m². Le facce esterne sono a 17 °C e 9 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.
L1 = 50 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 17 °CT3 = 9 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 150 mm calcestruzzo e 100 mm mattone separa una stanza a 22 °C dall’aria esterna a -11 °C. I coefficienti di convezione sono 8 W/(m²·K) all’interno e 25 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 6 m². Trova la temperatura Ts della superficie interna della parete.
L1 = 150 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 6 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -11 °C
Ts = °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore controcorrente trasferisce 330 kW. Il fluido caldo si raffredda da 120 a 70 °C e il fluido freddo si riscalda da 20 a 45 °C. Il coefficiente globale di scambio è 200 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Q̇ = 330 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 120 → 70 °CTc: 20 → 45 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
Olio caldo (1 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) si raffredda da 85 a 50 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 3 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 15 °C. Con U = 300 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.
ṁh = 1 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 85 → 50 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Ti = 14,49 °C
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(1,4·8) = 0,004464 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,96·8) = 0,009766 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 8/0,01423 = 562,2 W
Temperatura all’interfaccia
La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 17 − 562,2·0,004464 = 14,49 °C
Risposta
Ti = 14,49 °C
2.Conduzione del calore
Risposta: Ts = 11,96 °C
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·6) = 0,02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(1,4·6) = 0,01786 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,72·6) = 0,02315 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·6) = 0,006667 K/W
ΣR = 0,06851 K/W
Perdita di calore
Q̇ = (22 − (-11))/0,06851 = 481,7 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 481,7·0,02083 = 11,96 °C
Risposta
Ts = 11,96 °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 26,76 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 120 − 45 = 75 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 70 − 20 = 50 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (75 − 50)/ln(75/50) = 61,66 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 330000/(200·61,66) = 26,76 m²
Risposta
A = 26,76 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 6,122 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,5·35 = 87,5 kW
Tc,out = 15 + 87,5/(3·4,18) = 21,98 °C
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 85 − 21,98 = 63,02 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 15 = 35 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (63,02 − 35)/ln(63,02/35) = 47,65 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 87500/(300·47,65) = 6,122 m²
Risposta
A = 6,122 m²
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