Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 150 mm di polistirene espanso e 50 mm di legno, con un’area di 6 m². Le facce esterne sono a 16 °C e -9 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.
L1 = 150 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 16 °CT3 = -9 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 50 mm cartongesso e 50 mm mattone separa una stanza a 20 °C dall’aria esterna a 2 °C. I coefficienti di convezione sono 7,7 W/(m²·K) all’interno e 30 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 6 m². Trova la temperatura Ts della superficie interna della parete.
L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 6 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 2 °C
Ts = °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore controcorrente trasferisce 110 kW. Il fluido caldo si raffredda da 110 a 70 °C e il fluido freddo si riscalda da 30 a 60 °C. Il coefficiente globale di scambio è 200 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Q̇ = 110 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 110 → 70 °CTc: 30 → 60 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
Olio caldo (1 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) si raffredda da 160 a 140 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 1 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 25 °C. Con U = 200 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.
ṁh = 1 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 160 → 140 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 32,75 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,035·6) = 0,7143 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·6) = 0,04902 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 25/0,7633 = 32,75 W
Risposta
Q̇ = 32,75 W
2.Conduzione del calore
Risposta: Ts = 15,56 °C
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·6) = 0,02165 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·6) = 0,04902 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,72·6) = 0,01157 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·6) = 0,005556 K/W
ΣR = 0,08779 K/W
Perdita di calore
Q̇ = (20 − (2))/0,08779 = 205 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 205·0,02165 = 15,56 °C
Risposta
Ts = 15,56 °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 12,27 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 110 − 60 = 50 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 70 − 30 = 40 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (50 − 40)/ln(50/40) = 44,81 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 110000/(200·44,81) = 12,27 m²
Risposta
A = 12,27 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 2,101 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,5·20 = 50 kW
Tc,out = 25 + 50/(1·4,18) = 36,96 °C
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 160 − 36,96 = 123 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 140 − 25 = 115 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (123 − 115)/ln(123/115) = 119 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 50000/(200·119) = 2,101 m²
Risposta
A = 2,101 m²
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