Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 100 mm di vetro e 100 mm di mattone, con un’area di 12 m². Le facce esterne sono a 22 °C e 1 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.
L1 = 100 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 22 °CT3 = 1 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 200 mm calcestruzzo e 75 mm vetro separa una stanza a 20 °C dall’aria esterna a -2 °C. I coefficienti di convezione sono 10 W/(m²·K) all’interno e 25 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 20 m². Trova la temperatura Ts della superficie interna della parete.
L1 = 200 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 20 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -2 °C
Ts = °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore a fascio tubiero (un passaggio lato mantello, due passaggi lato tubi) deve trasferire 580 kW. Il fluido caldo si raffredda da 85 a 55 °C e il fluido freddo si riscalda da 25 a 40 °C. Il fattore di correzione della LMTD per questa configurazione è F = 0,88, e U = 500 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Q̇ = 580 kWF = 0,88U = 500 W/(m²·K)Th: 85 → 55 °CTc: 25 → 40 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
Olio caldo (1,5 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) si raffredda da 155 a 50 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 2 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 25 °C. Con U = 800 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.
ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 155 → 50 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 800 W/(m²·K)
A = m²
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Ti = 13 °C
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,96·12) = 0,008681 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,72·12) = 0,01157 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 21/0,02025 = 1037 W
Temperatura all’interfaccia
La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 22 − 1037·0,008681 = 13 °C
Risposta
Ti = 13 °C
2.Conduzione del calore
Risposta: Ts = 13,91 °C
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·20) = 0,005 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(1,4·20) = 0,007143 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,96·20) = 0,003906 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·20) = 0,002 K/W
ΣR = 0,01805 K/W
Perdita di calore
Q̇ = (20 − (-2))/0,01805 = 1219 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 1219·0,005 = 13,91 °C
Risposta
Ts = 13,91 °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 35,63 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Differenze di temperatura agli estremi (controcorrente)
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 85 − 40 = 45 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 25 = 30 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (45 − 30)/ln(45/30) = 36,99 K
Area
A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 580000/(500·0,88·36,99) = 35,63 m²
Risposta
A = 35,63 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 8,124 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,1·105 = 330,8 kW
Tc,out = 25 + 330,8/(2·4,18) = 64,56 °C
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 155 − 64,56 = 90,44 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 25 = 25 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (90,44 − 25)/ln(90,44/25) = 50,89 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 330750/(800·50,89) = 8,124 m²
Risposta
A = 8,124 m²
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