Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 150 mm di vetro e 100 mm di polistirene espanso, con un’area di 20 m². Le facce esterne sono a 24 °C e 7 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.
L1 = 150 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 24 °CT3 = 7 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 50 mm legno e 150 mm vetro separa una stanza a 21 °C dall’aria esterna a -15 °C. I coefficienti di convezione sono 7,7 W/(m²·K) all’interno e 30 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 10 m². Trova la perdita di calore Q̇ attraverso la parete.
L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 10 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -15 °C
Q̇ = W
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore a fascio tubiero (un passaggio lato mantello, due passaggi lato tubi) deve trasferire 370 kW. Il fluido caldo si raffredda da 85 a 60 °C e il fluido freddo si riscalda da 10 a 30 °C. Il fattore di correzione della LMTD per questa configurazione è F = 0,88, e U = 300 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Q̇ = 370 kWF = 0,88U = 300 W/(m²·K)Th: 85 → 60 °CTc: 10 → 30 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
In uno scambiatore controcorrente entrambe le correnti hanno la stessa capacità termica oraria, ṁ·cp = 2 kW/K. La corrente calda entra a 105 °C e quella fredda a 20 °C. Lo scambiatore ha A = 4 m² e U = 800 W/(m²·K). Trova la temperatura di uscita della corrente calda Th,out.
Ch = Cc = 2 kW/KTh,in = 105 °CTc,in = 20 °CA = 4 m²U = 800 W/(m²·K)
Th,out = °C
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Ti = 23,12 °C
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,96·20) = 0,007813 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,035·20) = 0,1429 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 17/0,1507 = 112,8 W
Temperatura all’interfaccia
La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 24 − 112,8·0,007813 = 23,12 °C
Risposta
Ti = 23,12 °C
2.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 586,7 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·10) = 0,01299 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·10) = 0,02941 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,96·10) = 0,01563 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·10) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,06136 K/W
Perdita di calore
Q̇ = (21 − (-15))/0,06136 = 586,7 W
Risposta
Q̇ = 586,7 W
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 26,72 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Differenze di temperatura agli estremi (controcorrente)
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 85 − 30 = 55 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 10 = 50 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (55 − 50)/ln(55/50) = 52,46 K
Area
A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 370000/(300·0,88·52,46) = 26,72 m²
Risposta
A = 26,72 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: Th,out = 52,69 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Differenza di temperatura costante
L’uscita fredda si trova di fronte all’ingresso caldo: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), quindi ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.
ΔTlm = Th,out − Tc,in
Bilancio energetico uguale all’equazione di scambio
2·(105 − Th,out) = 3,2·(Th,out − 20)
Th,out = (2·105 + 3,2·20)/(2 + 3,2) = 52,69 °C
Risposta
Th,out = 52,69 °C
Calore trasferito: Q̇ = 104,6 kW; la corrente fredda esce a 72,31 °C.
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