Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 100 mm di polistirene espanso e 25 mm di vetro, con un’area di 12 m². Le facce esterne sono a 22 °C e 5 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.
L1 = 100 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 22 °CT3 = 5 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 200 mm calcestruzzo e 100 mm lana minerale separa una stanza a 21 °C dall’aria esterna a -9 °C. I coefficienti di convezione sono 7,7 W/(m²·K) all’interno e 30 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 20 m². Trova la trasmittanza termica U della parete.
L1 = 200 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 20 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -9 °C
U = W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore equicorrente trasferisce 70 kW. Il fluido caldo si raffredda da 175 a 45 °C e il fluido freddo si riscalda da 10 a 35 °C. Il coefficiente globale di scambio è 800 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Q̇ = 70 kWU = 800 W/(m²·K)Th: 175 → 45 °CTc: 10 → 35 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
Olio caldo (0,5 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) si raffredda da 80 a 55 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 3 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 25 °C. Con U = 300 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.
ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 80 → 55 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Ti = 5,154 °C
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,035·12) = 0,2381 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,96·12) = 0,00217 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 17/0,2403 = 70,76 W
Temperatura all’interfaccia
La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 22 − 70,76·0,2381 = 5,154 °C
Risposta
Ti = 5,154 °C
2.Conduzione del calore
Risposta: U = 0,3564 W/(m²·K)
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·20) = 0,006494 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(1,4·20) = 0,007143 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,04·20) = 0,125 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·20) = 0,001667 K/W
ΣR = 0,1403 K/W
Coefficiente globale
U = 1/(A·ΣR) = 1/(20·0,1403) = 0,3564 W/(m²·K)
Risposta
U = 0,3564 W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 1,583 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Differenze di temperatura agli estremi
In equicorrente entrambi gli ingressi sono allo stesso estremo, ed entrambe le uscite all’altro.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 175 − 10 = 165 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 45 − 35 = 10 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (165 − 10)/ln(165/10) = 55,29 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 70000/(800·55,29) = 1,583 m²
Risposta
A = 1,583 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 2,378 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,3·25 = 28,75 kW
Tc,out = 25 + 28,75/(3·4,18) = 27,29 °C
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 80 − 27,29 = 52,71 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 25 = 30 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (52,71 − 30)/ln(52,71/30) = 40,29 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 28750/(300·40,29) = 2,378 m²
Risposta
A = 2,378 m²
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