Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 250 mm di legno e 25 mm di mattone, con un’area di 6 m². Le facce esterne sono a 24 °C e -15 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.
L1 = 250 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 24 °CT3 = -15 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 50 mm vetro e 100 mm calcestruzzo separa una stanza a 22 °C dall’aria esterna a -9 °C. I coefficienti di convezione sono 8 W/(m²·K) all’interno e 30 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 20 m². Trova la perdita di calore Q̇ attraverso la parete.
L1 = 50 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 20 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -9 °C
Q̇ = W
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore controcorrente trasferisce 310 kW. Il fluido caldo si raffredda da 135 a 115 °C e il fluido freddo si riscalda da 10 a 55 °C. Il coefficiente globale di scambio è 800 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Q̇ = 310 kWU = 800 W/(m²·K)Th: 135 → 115 °CTc: 10 → 55 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
Il vapore condensa a 105 °C costanti all’esterno dei tubi di un condensatore con un’area di scambio di 1 m² e U = 2000 W/(m²·K). L’acqua di raffreddamento (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) entra nei tubi a 10 °C. Trova la temperatura di uscita dell’acqua Tc,out.
Ts = 105 °CA = 1 m²U = 2000 W/(m²·K)ṁ = 1,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °C
Tc,out = °C
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 155,4 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,17·6) = 0,2451 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,72·6) = 0,005787 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 39/0,2509 = 155,4 W
Risposta
Q̇ = 155,4 W
2.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 2200 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·20) = 0,00625 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,96·20) = 0,002604 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(1,4·20) = 0,003571 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·20) = 0,001667 K/W
ΣR = 0,01409 K/W
Perdita di calore
Q̇ = (22 − (-9))/0,01409 = 2200 W
Risposta
Q̇ = 2200 W
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 4,215 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 135 − 55 = 80 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 115 − 10 = 105 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (80 − 105)/ln(80/105) = 91,93 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 310000/(800·91,93) = 4,215 m²
Risposta
A = 4,215 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: Tc,out = 35,95 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Combina il bilancio energetico e l’equazione di scambio
Con ΔT₁ = Ts − Tc,in e ΔT₂ = Ts − Tc,out, la differenza ΔT₁ − ΔT₂ è uguale all’aumento di temperatura dell’acqua, quindi l’aumento si semplifica.
ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 2000·1/(1,5·4180) = 0,319
Temperatura di uscita
ΔT₂ = ΔT₁·e−0,319 = 95·0,7269 = 69,05 K
Tc,out = 105 − 69,05 = 35,95 °C
Risposta
Tc,out = 35,95 °C
Calore trasferito: Q̇ = 162,7 kW.
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