Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Lana minerale, k = 0,04100 mmCalcestruzzo, k = 1,475 mm16 °C-7 °CTi​ = ?Q̇

Una parete è composta da 100 mm di lana minerale e 75 mm di calcestruzzo, con un’area di 6 m². Le facce esterne sono a 16 °C e -7 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.

L1 = 100 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 16 °CT3 = -7 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Legno, k = 0,1750 mmMattone, k = 0,7225 mmstanza 22 °Cesterno 0 °CTs​ = ?Q̇

Una parete di 50 mm legno e 25 mm mattone separa una stanza a 22 °C dall’aria esterna a 0 °C. I coefficienti di convezione sono 10 W/(m²·K) all’interno e 30 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 20 m². Trova la temperatura Ts della superficie interna della parete.

L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 20 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 0 °C
Ts = °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT155 °C90 °C40 °C30 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

Uno scambiatore controcorrente trasferisce 400 kW. Il fluido caldo si raffredda da 155 a 90 °C e il fluido freddo si riscalda da 30 a 40 °C. Il coefficiente globale di scambio è 300 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.

Q̇ = 400 kWU = 300 W/(m²·K)Th: 155 → 90 °CTc: 30 → 40 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT120 °C??10 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

In uno scambiatore controcorrente entrambe le correnti hanno la stessa capacità termica oraria, ṁ·cp = 2 kW/K. La corrente calda entra a 120 °C e quella fredda a 10 °C. Lo scambiatore ha A = 6 m² e U = 500 W/(m²·K). Trova la temperatura di uscita della corrente calda Th,out.

Ch = Cc = 2 kW/KTh,in = 120 °CTc,in = 10 °CA = 6 m²U = 500 W/(m²·K)
Th,out = °C

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Ti = −6,517 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,04·6) = 0,4167 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(1,4·6) = 0,008929 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 23/0,4256 = 54,04 W

Temperatura all’interfaccia

La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 16 − 54,04·0,4167 = −6,517 °C

Risposta

Ti = −6,517 °C
2.Conduzione del calore

Risposta: Ts = 17,24 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·20) = 0,005 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·20) = 0,01471 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,72·20) = 0,001736 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·20) = 0,001667 K/W
ΣR = 0,02311 K/W

Perdita di calore

Q̇ = (22 − (0))/0,02311 = 952 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 952·0,005 = 17,24 °C

Risposta

Ts = 17,24 °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 15,77 m²

Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.

Differenze di temperatura agli estremi

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 155 − 40 = 115 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 90 − 30 = 60 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (115 − 60)/ln(115/60) = 84,54 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 400000/(300·84,54) = 15,77 m²

Risposta

A = 15,77 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: Th,out = 54 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Differenza di temperatura costante

L’uscita fredda si trova di fronte all’ingresso caldo: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), quindi ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.

ΔTlm = Th,out − Tc,in

Bilancio energetico uguale all’equazione di scambio

2·(120 − Th,out) = 3·(Th,out − 10)
Th,out = (2·120 + 3·10)/(2 + 3) = 54 °C

Risposta

Th,out = 54 °C

Calore trasferito: Q̇ = 132 kW; la corrente fredda esce a 76 °C.

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