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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Una carta di credito applica un tasso nominale annuo del 18%, capitalizzato semestralmente. Trova il tasso annuo effettivo EAR in percentuale.
r = 18%m = 2
EAR = %
2.Valore temporale del denaroDifficile
Prendi in prestito €25 000 al 2,4% annuo, capitalizzato mensilmente, e rimborsi €375 alla fine di ogni mese. Quanti mesi servono per estinguere il prestito (l’ultima rata può essere più bassa)? Indica il numero di rate N.
P = €25 000A = €3752,4% / 12
N = rate
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 4% in due rate semestrali e scade tra 5 anni. Il rendimento a scadenza è del 3,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 4%YTM = 3,5%n = 5
P = €
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con 20 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 6%) viene venduta a €1 355. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 3 anni a un prezzo di richiamo di €1 060. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.
F = €1 000cedola = 6%P = €1 355prezzo di richiamo = €1 060richiamo tra 3 anni
YTC = %
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €12 000 000 e debito per €2 000 000. Il costo del capitale proprio è del 13%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 1 000 000 azioni da €36,00 ciascuna e 20 000 obbligazioni quotate €1 020 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 25%. Il beta dell’azione è 1,2, il tasso privo di rischio è del 2% e il rendimento di mercato è del 7,5%. Trova il WACC.
β = 1,2rf = 2%rm = 7,5%rd = 6%T = 25%
WACC = %
7.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €500 000 oggi. Genera €36 000 alla fine del primo anno, e il flusso di cassa cresce poi del 3% annuo per sempre. Il costo del capitale è il 9%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €500 000CF1 = €36 000g = 3%r = 9%
NPV = €
8.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €40 000 e restituisce €14 500, €16 500, €24 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −40 000CF1 = 14 500CF2 = 16 500CF3 = 24 500
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: EAR = 18,81 %
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso per periodo
r/m = 0,18/2 = 0,09
Capitalizza su un anno
EAR = (1 + 0,09)2 − 1 = 1,188 − 1 = 18,81%
Risposta
EAR = 18,81%
Il tasso annuo effettivo è sempre superiore al tasso nominale quando gli interessi vengono capitalizzati più di una volta all’anno.
2.Valore temporale del denaro
Risposta: N = 72 rate
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Riordina la formula della rendita
i = 0,002
(1 + i)−N = 1 − 25 000·0,002/375 = 0,8667
Risolvi con i logaritmi
N = −ln(0,8667)/ln(1,002) = 71,62
Arrotonda a rate intere
71 rate intere lasciano un piccolo debito residuo, che viene estinto dall’ultima rata, più bassa.
N = 72
Risposta
N = 72 rate
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1023 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €20,00, i = 0,0175, N = 10
Valore attuale delle cedole
€20,00·(1 − 0,8407)/0,0175 = €182,02
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,8407 = €840,73
Prezzo
P = €1 022,75
Risposta
P = €1 022,75
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTC = 50 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
1355 = 60·(1 − (1 + y)−3)/y + 1060/(1 + y)3
Risolvi numericamente
y = 50%: €398,52
y = 50%: €398,52
YTC = 50%
Risposta
YTC = 50%
Il rendimento a scadenza è del 3,502%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 11,74 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €14 000 000, E/V = 0,8571, D/V = 0,1429
WACC
WACC = 0,8571·13% + 0,1429·6%·(1 − 0,3) = 11,74%
Risposta
WACC = 11,74%
6.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,117 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore dei flussi di cassa
PV = 36 000/(0,09 − 0,03) = 600 000,00
NPV
NPV = 600 000,00 − 500 000 = €100 000,00
Risposta
NPV = €100 000,00
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 16,64 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(15%) = 1 194,21
NPV(20%) = −2 280,09
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.